O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou 8 000 unidades de um determinado produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo novas máquinas e aumentou a produção em 50%. Estima-se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um crescimento anual de 50%. Considere P a quantidade anual de produtos fabricados no ano t de funcionamento da indústria.
Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o número de unidades produzidas P em função de t, para t ≥ 1?
A) P(t) = 0,5 · t-1 + 8 000
B) P(t) = 50 · t-1 + 8 000
C) P(t) = 4 000 · t-1 + 8 000
D) P(t) = 8 000 · (0,5)t – 1
E) P(t) = 8 000 · (1,5)t – 1
Resolução em texto
Matérias Necessárias: Funções Exponenciais, Crescimento Percentual
Nível da Questão: Médio
✅ Gabarito: P(t) = 8 000 · (1,5)ᵗ⁻¹
🎯 Tema/Objetivo Geral: Modelar o crescimento anual de 50% da produção inicial de 8 000 unidades.
🔹 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Retomar o Comando
📌 “Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina P em função de t, para t ≥ 1?”
1.2 O que está sendo pedido?
📌 Encontrar a função P(t) que dá a quantidade produzida no t-ésimo ano, sabendo que cada ano a produção cresce 50% sobre o ano anterior, e que em t = 1 temos P(1) = 8 000.
1.3 Objetivo Cristalino
📌 Reconhecer o padrão multiplicativo de crescimento exponencial e escrever P(t) usando potência de 1,5:
Produção do ano t = produção inicial × (fator de crescimento)^(t−1).
1.4 Identificação de Palavras-Chave
📌 “crescimento anual de 50%”, “ano t”, “P(1) = 8 000”, “t ≥ 1”.
1.5 ✔ Pergunta de Atenção
Você entendeu que, toda vez que aumentamos algo em 50%, multiplicamos por 1,5 (e não por 0,5!) para obter o novo valor?
🔹 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
- 📌 Crescimento percentual: um acréscimo de 50% equivale a multiplicar por 1 + 0,50 = 1,5.
- 📌 Função exponencial: quando repetimos anualmente o mesmo fator, temos
P(t) = P(1) × (1,5)^(t−1).
❓ Dúvida Comum
“Por que o expoente é (t−1) e não t?”
✔ Porque em t = 1 queremos (1,5)⁰ = 1, mantendo P(1) = 8 000; cada ano a mais multiplica por mais um fator 1,5.
🔹 Passo 3: Tradução e Interpretação do Padrão
- Ano 1 (t = 1): P(1) = 8 000 · (1,5)⁰ = 8 000 · 1 = 8 000.
- Ano 2 (t = 2): P(2) = 8 000 · (1,5)¹ = 12 000 (50% a mais).
- Ano 3 (t = 3): P(3) = 8 000 · (1,5)² = 18 000.
- E assim por diante, multiplicando sempre por 1,5.
🔹 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Formulação
- Defina o fator de crescimento:
- Aumento de 50% ⇒ fator = 1 + 0,5 = 1,5.
- Estabeleça a repetição anual:
- No 2º ano, multiplica-se por 1,5 uma vez;
- No 3º ano, por 1,5 duas vezes;
- Em geral, no t-ésimo ano, por 1,5 (t−1) vezes.
- Escreva a expressão geral:
P(t) = 8 000 · (1,5)^(t−1), t ≥ 1.
🔹 Passo 5: Análise das Alternativas
A) P(t) = 0,5 · t⁻¹ + 8 000
- Mistura soma e potência; não modela crescimento multiplicativo de 50%. ❌
B) P(t) = 50 · t⁻¹ + 8 000
- Usa coeficiente 50, não faz sentido em unidades de produção. ❌
C) P(t) = 4 000 · t⁻¹ + 8 000
- Também soma em vez de multiplicar pela potência; incorreto. ❌
D) P(t) = 8 000 · (0,5)ᵗ⁻¹
- Fator 0,5 representaria queda de 50%, não aumento. ❌
E) P(t) = 8 000 · (1,5)ᵗ⁻¹
- Correta: cada ano multiplica-se por 1,5^(t−1). ✅
🔹 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
📌 Ao crescer 50% ao ano, cada ciclo multiplica a produção por 1,5. Para começar com 8 000 em t = 1 e repetir esse fator anualmente, usamos (1,5)^(t−1).
6.2 Alternativa Correta
✅ E) P(t) = 8 000 · (1,5)ᵗ⁻¹
6.3 🔍 Resumo Final
Crescimento percentual constante leva a funções exponenciais. Basta saber o fator (1 + taxa) e como aplicar o expoente (t−1)!
