Segundo dados apurados no Censo 2010, para uma população de 101,8 milhões de brasileiros com 10 anos ou mais de idade e que teve algum tipo de rendimento em 2010, a renda média mensal apurada foi de R$ 1 202,00. A soma dos rendimentos mensais dos 10% mais pobres correspondeu a apenas 1,1% do total de rendimentos dessa população considerada, enquanto que a soma dos rendimentos mensais dos 10% mais ricos correspondeu a 44,5% desse total.
Disponível em: www.estadao.com.br. Acesso em: 16 nov. 2011(adaptado).
Qual foi a diferença, em reais, entre a renda média mensal de um brasileiro que estava na faixa dos 10% mais ricos e de um brasileiro que estava na faixa dos 10% mais pobres?
A) 240,40
B) 548,11
C) 1 723,67
D) 4 026,70
E) 5 216,68
Resolução em texto
Matérias Necessárias: Porcentagem e Proporção, Média Aritmética
Nível da Questão: Médio
✅ Gabarito: E) 5 216,68
🎯 Objetivo Geral: Calcular médias de subgrupos a partir de percentuais de renda e população, e determinar a diferença entre duas médias.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial (📌)
“Qual foi a diferença, em reais, entre a renda média mensal de um brasileiro que estava na faixa dos 10% mais ricos e de um brasileiro que estava na faixa dos 10% mais pobres?”
1.2 O que está sendo pedido? (📌)
Encontrar a renda média dos 10% mais ricos e dos 10% mais pobres e calcular a diferença entre esses dois valores.
1.3 Objetivo Cristalino (📌)
Determinar:
- Rₚₒₒᵣ = média dos 10% mais pobres
- Rᵣᵢcₕ = média dos 10% mais ricos
- Diferença = Rᵣᵢcₕ − Rₚₒₒᵣ
1.4 Pergunta de Atenção (✔)
Você lembrou de usar o total de renda (média × população) para encontrar a parte dos 10% mais pobres e mais ricos antes de dividir pela quantidade de pessoas em cada subgrupo?
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas (📌)
- Total de renda (T):
T = Rₘₑdᵢₐ × N, onde N = 101,8 milhões de pessoas e Rₘₑdᵢₐ = 1 202 R$. - Renda total dos 10% mais pobres:
Tₚₒₒᵣ = 0,011 × T (1,1% do total). - Renda total dos 10% mais ricos:
Tᵣᵢcₕ = 0,445 × T (44,5% do total). - Número de pessoas em cada 10%:
N₁₀% = 0,10 × N. - Média de cada grupo:
R₉ₚₒₒᵣ = Tₚₒₒᵣ / N₁₀% e Rᵣᵢcₕ = Tᵣᵢcₕ / N₁₀%.
2.2 Dúvida Comum e Resposta (❓✔)
“Por que usamos 0,011 e não 0,10·0,011?”
✔ Cada percentual refere-se ao total de renda T, não à renda de cada subgrupo.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada (📌)
- Temos N = 101,8 milhões de pessoas com média R$ 1 202, logo o total é T = 1 202 × 101,8 milhões.
- Os 10% mais pobres recebem juntos 1,1% de T; os 10% mais ricos, 44,5% de T.
- Para achar a média individual em cada faixa, dividimos a renda conjunta pela quantidade de pessoas do subgrupo (10% de N).
3.2 Estratégia Geral (📌)
- Calcular T = 1 202 × 101,8 × 10⁶.
- Calcular Tₚₒₒᵣ = 0,011 × T e Tᵣᵢcₕ = 0,445 × T.
- Dividir cada um por N₁₀% = 0,10 × 101,8 × 10⁶.
- Subtrair para obter a diferença.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado (📌)
- Total de renda T:
T = 1 202 × 101,8×10⁶ = 122 363,6×10⁶ R$
- Renda dos 10% mais pobres Tₚₒₒᵣ:
Tₚₒₒᵣ = 0,011 × T = 0,011 × 122 363,6×10⁶ = 1 345,0×10⁶ R$
- Renda dos 10% mais ricos Tᵣᵢcₕ:
Tᵣᵢcₕ = 0,445 × T = 0,445 × 122 363,6×10⁶ = 54 451,8×10⁶ R$
- Número de pessoas em 10% N₁₀%:
N₁₀% = 0,10 × 101,8×10⁶ = 10,18×10⁶ pessoas
- Média dos pobres Rₚₒₒᵣ:
Rₚₒₒᵣ = Tₚₒₒᵣ / N₁₀% = (1 345,0×10⁶) / (10,18×10⁶) = 132,22 R$
- Média dos ricos Rᵣᵢcₕ:
Rᵣᵢcₕ = Tᵣᵢcₕ / N₁₀% = (54 451,8×10⁶) / (10,18×10⁶) = 5 348,90 R$
- Diferença:
Δ = Rᵣᵢcₕ − Rₚₒₒᵣ = 5 348,90 − 132,22 = 5 216,68 R$
4.2 Verificação Intermediária (📌)
Os cálculos de Tₚₒₒᵣ e Tᵣᵢcₕ estão consistentes com 1,1% e 44,5% de T, e a divisão por 10,18×10⁶ pessoas gera médias plausíveis.
Passo 5: Análise das Alternativas
A) 240,40 ❌
- Muito abaixo do resultado obtido.
B) 548,11 ❌
- Próximo a 5% da diferença, mas não confere.
C) 1 723,67 ❌
- Não corresponde à subtração de ~5 348 e ~132.
D) 4 026,70 ❌
- Valor intermediário incorreto.
E) 5 216,68 ✅
- Correto, coincide com Δ = 5 348,90 − 132,22.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio (📌)
Calculamos o total de renda T, aplicamos 1,1% e 44,5% para obter rendas conjuntas dos 10% mais pobres e mais ricos, dividimos por 10% da população e subtraímos as médias.
6.2 Gabarito Reafirmado (📌)
✅ Alternativa E) R$ 5 216,68
6.3 Resumo Final para Revisão (🔍)
Para subgrupos de percentuais fixos, use porcentagem do total e divida pela quantidade de elementos do subgrupo para obter a média individual.
