O HPV é uma doença sexualmente transmissível. Uma vacina com eficácia de 98% foi criada com o objetivo de prevenir a infecção por HPV e, dessa forma, reduzir o número de pessoas que venham a desenvolver câncer de colo de útero. Uma campanha de vacinação foi lançada em 2014 pelo SUS, para um público-alvo de meninas de 11 a 13 anos de idade. Considera-se que, em uma população não vacinada, o HPV acomete 50% desse público ao longo de suas vidas. Em certo município, a equipe coordenadora da campanha decidiu vacinar meninas entre 11 e 13 anos de idade em quantidade suficiente para que a probabilidade de uma menina nessa faixa etária, escolhida ao acaso, vir a desenvolver essa doença seja, no máximo, de 5,9%. Houve cinco propostas de cobertura, de modo a atingir essa meta:
Proposta I: vacinação de 90% do público-alvo.
Proposta II: vacinação de 55,8% do público-alvo.
Proposta III: vacinação de 88,2% do público-alvo.
Proposta IV: vacinação de 49% do público-alvo.
Proposta V: vacinação de 95,9% do público-alvo.
Para diminuir os custos, a proposta escolhida deveria ser também aquela que vacinasse a menor quantidade possível de pessoas.
Disponível em: www.virushpv.com.br. Acesso em: 30 ago. 2014 (adaptado).
A proposta implementada foi a de número
A) I.
B) II.
C) III.
D) IV.
E) V.
Resolução em texto
Matérias Necessárias: Probabilidade e Estatística (Modelagem de Risco)
Nível da Questão: Médio (ENEM)
✅ Gabarito: A) Proposta I (90%)
🎯 Tema/Objetivo Geral: Encontrar a cobertura mínima de vacinação para manter a probabilidade de infecção ≤ 5,9%, usando a eficácia da vacina e o risco em não vacinadas.
🔹 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Retomar o Comando
📌 “O gerente… decidiu vacinar… para que a probabilidade de uma menina… vir a desenvolver essa doença seja, no máximo, de 5,9%. Houve cinco propostas… Qual foi escolhida?”
1.2 O que está sendo pedido?
📌 Determinar qual percentual mínimo de vacinação (entre as propostas) mantém a probabilidade de infecção ≤ 5,9%, e ainda seja o menor possível.
1.3 Objetivo Cristalino
📌
- Modelar a probabilidade de infecção em função de v, a fração vacinada.
- Impor a restrição P₍inf₎(v) ≤ 0,059.
- Encontrar o menor v (entre as opções) que satisfaça essa condição.
1.4 Identificação de Palavras-Chave
📌 “vacina eficácia 98%”, “risco em não vacinadas = 50%”, “P₍inf₎ ≤ 5,9%”, “cobertura mínima”.
1.5 ✔ Dúvida Comum
“Como a eficácia de 98% se traduz em chance de infecção?”
✔ A vacina reduz em 98% o risco original (50%), logo a infecção em vacinadas é 0,50·(1 − 0,98) = 0,01 = 1%.
🔹 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
- 📌 Risco em não vacinadas: 50% ⇒ 0,50
- 📌 Eficácia 98%: significa que quem recebe a vacina tem risco reduzido a 2% do original ⇒ risco absoluto = 0,50·0,02 = 0,01 (1%)
- 📌 Probabilidade total de infecção numa população em que v é a fração vacinada e (1 − v) a não vacinada:
P₍inf₎ = v·0,01 + (1 − v)·0,50
🔹 Passo 3: Tradução e Interpretação
- v: proporção de meninas vacinadas.
- 1−v: proporção não vacinada.
- Infecção em vacinadas: 1%
- Infecção em não vacinadas: 50%
- Meta: P₍inf₎(v) ≤ 5,9% (0,059).
🔹 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
- Escreva a função‐risco:
P₍inf₎(v) = 0,01·v + 0,50·(1 − v) - Simplifique:
P₍inf₎(v) = 0,01 v + 0,50 − 0,50 v
P₍inf₎(v) = 0,50 − 0,49 v - Imponha a restrição:
0,50 − 0,49 v ≤ 0,059 - Isole v:
−0,49 v ≤ 0,059 − 0,50
−0,49 v ≤ −0,441
v ≥ (−0,441)/(−0,49) = 0,441/0,49 = 0,90 - Conclusão matemática:
É necessário vacinar no mínimo 90% (v ≥ 0,90) para manter P₍inf₎ ≤ 5,9%.
🔹 Passo 5: Análise das Alternativas
I) 90%
- v = 0,90 satisfaz v ≥ 0,90 ⇒ válida.
II) 55,8%
- v = 0,558 < 0,90 ⇒ P₍inf₎ > 5,9% ⇒ inválida.
III) 88,2%
- v = 0,882 < 0,90 ⇒ P₍inf₎ > 5,9% ⇒ inválida.
IV) 49%
- v = 0,49 < 0,90 ⇒ P₍inf₎ > 5,9% ⇒ inválida.
V) 95,9%
- v = 0,959 ≥ 0,90 ⇒ válida, mas vacina mais pessoas do que I.
Entre as válidas (I e V), a menor cobertura é I — 90%. ✅
🔹 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
📌 Modelamos P₍inf₎(v) = 0,50 − 0,49 v, exigimos P₍inf₎ ≤ 0,059 ⇒ v ≥ 0,90.
6.2 Alternativa Correta
✅ A) Proposta I (90%)
6.3 🔍 Resumo Final
Para manter a infecção abaixo de 5,9%, vacine pelo menos 90% das meninas; escolher a cobertura mínima reduz custos e atinge a meta epidemiológica.
