Um arquiteto deseja construir um jardim circular de 20 m de diâmetro. Nesse jardim, uma parte do terreno será reservada para pedras ornamentais. Essa parte terá a forma de um quadrado inscrito na circunferência, como mostrado na figura. Na parte compreendida entre o contorno da circunferência e a parte externa ao quadrado, será colocada terra vegetal. Nessa parte do jardim, serão usados 15 kg de terra para cada m². A terra vegetal é comercializada em sacos com exatos 15 kg cada. Use 3 como valor aproximado para π.
O número mínimo de sacos de terra vegetal necessários para cobrir a parte descrita do jardim é
A) 100.
B) 140.
C) 200.
D) 800.
E) 1 000.
Resolução em Texto
📌 🧮 Tema Geral:
🔹Geometria Plana – Área de figuras planas (círculo e quadrado)
📚 Matérias Necessárias para a Solução
- Área do círculo
- Área do quadrado inscrito
- Teorema de Pitágoras
- Interpretação geométrica de regiões planas
- Regra de três (massa por metro quadrado)
🔢 Nível da Questão
🔸Médio
✅ Gabarito
- Letra A
📝 Resolução Passo a Passo
🔍 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Trecho-chave:
“Será colocada terra vegetal na parte compreendida entre o contorno da circunferência e a parte externa ao quadrado.”
🎯 Nosso objetivo:
Calcular quantos sacos de terra vegetal de 15 kg serão necessários para cobrir apenas a parte cinza, ou seja, a área do círculo menos a área do quadrado inscrito.
👉 O que ele quer saber?
Quantos sacos são necessários, sabendo que cada m² exige 15 kg e cada saco tem 15 kg.
📖 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
- Área do círculo: A = π·R²
- Área do quadrado inscrito: precisamos calcular o lado L usando Pitágoras
- Área da região cinza: diferença entre a área do círculo e a do quadrado
- Quantidade de terra: 15 kg por m²
- Sacos de terra: 1 saco = 15 kg → 1 saco cobre 1 m²
🧷 Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
🔹 O diâmetro do jardim é 20 metros, então:
Raio R = 20 ÷ 2 = 10 metros
🔹 Área do círculo:
A_círculo = π·R² = 3·(10²) = 3·100 = 300 m²
🔹 Para encontrar a área do quadrado inscrito, usamos o teorema de Pitágoras:
A diagonal do quadrado é igual ao diâmetro da circunferência:
Diagonal = L·√2 = 20
L = 20 ÷ √2 = 20 ÷ 1,41 ≈ 14,18
Área_quadrado ≈ 14,18² ≈ 200 m²
Ou, se preferirmos:
20² = L² + L² → 400 = 2·L² → L² = 200
🧮 Passo 4 – Desenvolvimento do raciocínio e cálculos
— Área da parte com terra vegetal:
- Área_região = Área_círculo − Área_quadrado = 300 − 200 = 100 m²
— Quantidade de terra vegetal necessária:
- 100 m² × 15 kg/m² = 1.500 kg
— Sacos necessários:
- 1.500 ÷ 15 = 100 sacos
🧩 Passo 5 – Análise das Alternativas
A) 100 ✅
B) 140 ❌
C) 200 ❌
D) 800 ❌
E) 1.000 ❌
🎯Passo 6: Conclusão e justificativa final
Para cobrir apenas a parte externa ao quadrado, dentro do círculo de 20 m de diâmetro, é necessário 100 m² de terra vegetal. Como cada metro quadrado exige 15 kg, e cada saco tem 15 kg, o total é:
📌 100 sacos
✅ Alternativa correta: Letra A
