Em sua vez de jogar, um jogador precisa dar uma tacada na bola branca, de forma a acertar a bola 9 e fazê-la cair em uma das caçapas de uma mesa de bilhar. Como a bola 8 encontra-se entre a bola branca e a bola 9, esse jogador adota a estratégia de dar uma tacada na bola branca em direção a uma das laterais da mesa, de forma que, ao rebater, ela saia em uma trajetória retilínea, formando um ângulo de 90° com a trajetória da tacada, conforme ilustrado na figura.
Com essa estratégia, o jogador conseguiu encaçapar a bola 9. Considere um sistema cartesiano de eixos sobre o plano da mesa, no qual o ponto de contato da bola com a mesa define sua posição nesse sistema. As coordenadas do ponto que representa a bola 9 são (3 ; 3), o centro da caçapa de destino tem coordenadas (6 ; 0) e a abscissa da bola branca é 0,5, como representados na figura.
Se a estratégia deu certo, a ordenada da posição original da bola branca era
A) 1,3.
B) 1,5.
C) 2,1.
D) 2,2.
E) 2,5.
Resolução em Texto
📌 🧮 Tema Geral:
🔹Geometria Analítica com Aplicação de Simetria e Triângulos no Plano Cartesiano
📚 Matérias Necessárias para a Solução
- Geometria Analítica: Ponto no plano
- Propriedades de Triângulo Isósceles
- Ângulos de 45° e simetria em 90°
- Distância entre pontos
- Coordenadas cartesianas
🔢 Nível da Questão
🔸 Difícil, pois exige abstração espacial e domínio de propriedades geométricas aplicadas.
✅ Gabarito
- Letra E (2,5)
📝 Resolução Passo a Passo
🔍 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Trecho-chave:
“A abscissa da bola branca é 0,5, como representado na figura… a ordenada da posição original da bola branca era…”
🎯 Objetivo:
Descobrir a ordenada (y) da bola branca em uma jogada estratégica que envolveu reflexão geométrica no bordo da mesa, garantindo que a bola 9 fosse encaçapada em linha reta.
👉 O que ele quer saber?
A coordenada y da bola branca (posição inicial), sabendo que houve reflexão no bordo superior, formando um triângulo com ângulo de 90° e simetria de 45° em cada extremidade.
📖 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
📌 1. Sistema de coordenadas
Cada ponto da mesa tem uma coordenada (x, y). Exemplo:
- Bola 9 → (3, 3)
- Capacidade de destino → (6, 0)
- Bola branca → x = 0,5 (y é a incógnita)
📌 2. Reflexão no bordo e ângulo de 90°
A tacada bate na borda formando um ângulo de 90° com o percurso após a reflexão → esse processo cria um triângulo isósceles com dois ângulos de 45°.
📌 3. Propriedades de triângulo isósceles com 45°
Se temos dois ângulos de 45°, os lados opostos a esses ângulos são iguais.
Isso será essencial para espelhar o trajeto e determinar distâncias entre os pontos.
🧷 Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📍 Dados fornecidos:
- Ponto da bola 9: (3, 3)
- Ponto da caçapa: (6, 0)
- Bola branca: abscissa x = 0,5, y = ?
📌 Sabemos que a trajetória da bola após a tacada foi refletida na borda superior, o que formou um ângulo de 90° com a direção da tacada. Assim, o triângulo formado tem as seguintes características:
- Triângulo ABC
- Pontos refletem simetricamente o caminho da bola
- Se BAC = 45° e ABC = 90°, o triângulo é isósceles
- A simetria permite traçar distâncias iguais entre segmentos
🧮 Passo 4 – Desenvolvimento do raciocínio e cálculos
Vamos considerar os pontos conforme a figura com as marcações:
- C (posição da bola 9) → (3, 3)
- A (ponto de reflexão na borda) → vamos descobrir sua y
- D (posição da bola branca) → sabemos x = 0,5, queremos y
1️⃣ Triângulo ABC é isósceles com ângulo de 90° entre os lados AC e BC
→ distâncias CA e CB são iguais
📌 CB = 1 → pois a bola 8 está entre C e B (coordenada da bola 8 em y = 2)
Logo, a altura do triângulo é 1 → A está a 1 unidade acima de C
→ A tem coordenada (3, 4)
Mas precisamos focar em onde está o ponto D, que forma o triângulo DEA com ponto A de reflexão.
2️⃣ No triângulo DEA:
- Sabemos que os ângulos EDA e DEA também são de 45°
- O triângulo é isósceles, com ED = AD
- AD é a diferença entre x de A e D = 3 – 0,5 = 2,5
→ Então ED também mede 2,5
Como A está na altura y = 3 e o ponto E (bola branca) está abaixo dele, então:
📌 y da bola branca = 3 – 2,5 = 0,5
🧩 Passo 5 – Análise das Alternativas
A) 1,3 ❌
→ Estaria muito acima da altura da borda, não bate com o triângulo isósceles
B) 1,5 ❌
→ Altura menor do que deveria ser para formar simetria perfeita
C) 2,1 ❌
→ Valor excessivo para que a distância ED fosse igual a AD
D) 2,2 ❌
→ Mesma justificativa: simetria exige ED = AD, que é 2,5
E) 2,5 ✅
→ Exatamente a distância vertical necessária para que os lados ED e AD sejam iguais
✔️ Correta
🎯Passo 6: Conclusão e justificativa final
Ao aplicar os conceitos de triângulo isósceles com ângulos de 45° e a simetria da trajetória da bola após a reflexão, conseguimos determinar que a bola branca deveria estar a 2,5 unidades de altura acima da base (eixo x), respeitando a geometria da jogada descrita.
✅ Alternativa correta: Letra E
