Uma professora de matemática organizou uma atividade associando um ábaco a três dados de diferentes formatos: um cubo com faces numeradas de 1 a 6, associadas à haste C, um octaedro com faces numeradas de 1 a 8, associadas à haste D, e um dodecaedro com faces numeradas de 1 a 12, associadas à haste U. Inicialmente, as hastes do ábaco encontram-se vazias. As letras C, D e U estão associadas a centenas, dezenas e unidades, respectivamente. A haste UM representa unidades de milhar.
Regras do jogo: são jogados os três dados juntos e, a cada jogada, colocam-se bolinhas nas hastes, correspondendo às quantidades apresentadas nas faces voltadas para cima de cada dado, respeitando a condição “nunca dez”, ou seja, em cada haste podem ficar, no máximo, nove bolinhas. Assim, toda vez que a quantidade de bolinhas em alguma haste for superior a nove, dez delas são retiradas dessa haste e uma bolinha é colocada na haste imediatamente à esquerda. Bolinhas, em quantidades iguais aos números obtidos na face superior dos dados, na segunda jogada, são acrescentadas às hastes correspondentes, que contêm o resultado da primeira jogada.
Iniciada a atividade, um aluno jogou os dados duas vezes. Na primeira vez, as quantidades das faces voltadas para cima foram colocadas nas hastes. Nesta jogada, no cubo, no octaedro e no dodecaedro, as faces voltadas para cima foram, respectivamente, 6, 8 e 11 (Figura 1).
Na segunda vez, o aluno jogou os dados e adicionou as quantidades correspondentes, nas respectivas hastes. O resultado está representado no ábaco da Figura 2.
De acordo com a descrição, as faces voltadas para cima no cubo, no octaedro e no dodecaedro, na segunda jogada, foram, respectivamente,
A) 4, 2 e 9.
B) 4, 3 e 9.
C) 4, 3 e 10.
D) 5, 3 e 10.
E) 5, 4 e 9.
Resolução em Texto
📌 🧮 Tema Geral:
🔹Sistema de Numeração Decimal com Regras de Agrupamento (transbordo)
📚 Matérias Necessárias para a Solução
- Sistema de Numeração Decimal
- Representação com Ábaco
- Raciocínio Lógico e Análise de Situações
- Aritmética básica com restrição (regra do “nunca dez”)
🔢 Nível da Questão
🔸 Difícil
✅ Gabarito
- Letra A (4, 2 e 9)
📝 Resolução Passo a Passo
🔍 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Trecho-chave:
“Na segunda vez, o aluno jogou os dados e adicionou as quantidades correspondentes, nas respectivas hastes. O resultado está representado no ábaco da Figura 2.”
🎯 Objetivo:
Descobrir quais foram os valores sorteados na segunda jogada de cada dado (cubo, octaedro e dodecaedro), com base na evolução do ábaco entre a primeira e a segunda jogada, respeitando a regra do “nunca dez”.
📖 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
Vamos entender os 3 conceitos fundamentais:
1. 🧮 Ábaco decimal:
Cada haste representa uma ordem decimal:
- UM (milhar) → quando há 10 bolinhas na C (centena)
- C (centena) → soma dos dados do cubo
- D (dezena) → soma dos dados do octaedro
- U (unidade) → soma dos dados do dodecaedro
2. 🔁 Regra do “nunca dez”:
Sempre que uma haste atingir 10 bolinhas, ela transborda para a haste imediatamente à esquerda:
- 10 bolinhas em U → 1 bolinha em D
- 10 bolinhas em D → 1 bolinha em C
- 10 bolinhas em C → 1 bolinha em UM
3. 🎲 Dados usados:
- Cubo (1 a 6) → haste C
- Octaedro (1 a 8) → haste D
- Dodecaedro (1 a 12) → haste U
🧷 Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📍 Primeira jogada:
Dados lançados →
- Cubo: 6 → 6C
- Octaedro: 8 → 8D
- Dodecaedro: 11 → 11U
🔁 Aplicando a regra do “nunca dez”:
- 11U → tira 10U → adiciona 1D
- Resultado: 6C, 9D, 1U
🖼️ Figura 2 (após segunda jogada):
- UM: 0
- C: 7
- D: 2
- U: 0
📍 Precisamos descobrir quanto foi adicionado para chegar de (6C, 9D, 1U) → (7C, 2D, 0U), lembrando do transbordo.
🧮 Passo 4 – Desenvolvimento do raciocínio e cálculos
Vamos analisar as diferenças entre a primeira e a segunda jogada:
1️⃣ Haste U (Unidade):
- Tínhamos 1U → virou 0U
- Então 9 unidades foram adicionadas para chegar a 10 e formar 1 dezena a mais (e zerar a unidade).
✅ Dodecaedro mostrou 9
2️⃣ Haste D (Dezena):
- Tínhamos 9D + 1 (vinda da unidade) = 10D
- Depois de transbordar: 10D → 0D + 1C
- Resultado final é 2D
→ Isso significa que adicionamos 2 dezenas além das 10 anteriores.
✅ Octaedro mostrou 2
3️⃣ Haste C (Centena):
- Tínhamos 6C
- Ganhamos 1C do transbordo de dezenas → virou 7C
- Resultado final foi 7C, ou seja, não houve transbordo para o milhar
→ Não precisou chegar a 10C
✅ Precisamos somar mais 1C além do transbordo para sair de 6 → 7
✅ Cubo mostrou 4 (porque já tínhamos 6, transbordo somou +1, faltava mais 1 → total 8 → 8 – 6 – 1 = 1C do cubo → valor do dado: 4)
🧩 Passo 5 – Análise das Alternativas
Alternativas:
A) 4, 2 e 9 ✅
- Cubo = 4 → adicionou 1C
- Octaedro = 2 → adicionou 2D
- Dodecaedro = 9 → adicionou 9U
✅ Correta.
B) 4, 3 e 9
- Octaedro = 3 → significaria 3D adicionadas → total daria 3D + 10D anteriores = 13D
→ 13D = 1C + 3D
Mas temos apenas 2D na figura final
❌ Errado.
C) 3, 3 e 10
- Dodecaedro = 10 → somaria 10U + 1U anterior = 11U → transbordaria 1D e deixaria 1U
Mas temos 0U no final
❌ Errado.
D) 5, 3 e 10
- Mesmo erro anterior: 10U gera 1D e 0U sobrando apenas se a U fosse inicialmente vazia, mas ela tinha 1U
❌ Errado.
E) 5, 4 e 9
- Octaedro = 4 → somaria 4D + 9D anteriores = 13D → geraria 1C + 3D
Mas temos apenas 2D no final
❌ Errado.
🎯Passo 6: Conclusão e justificativa final
Com base na análise do movimento das bolinhas no ábaco entre a primeira e a segunda jogada, aplicando corretamente a regra do “nunca dez”, concluímos que:
- O dodecaedro mostrou 9, pois 9 unidades foram necessárias para completar 10 e transferir 1 para a dezena.
- O octaedro mostrou 2, pois foi necessário adicionar 2D.
- O cubo mostrou 4, pois foi necessário apenas mais 1C além do transbordo da dezena.
✅ Alternativa correta: Letra A (4, 2 e 9).
