Um artista utilizou uma caixa cúbica transparente para a confecção de sua obra, que consistiu em construir um polígono IMNKPQ, no formato de um hexágono regular, disposto no interior da caixa. Os vértices desse polígono estão situados em pontos médios de arestas da caixa. Um esboço da sua obra pode ser visto na figura.
Considerando as diagonais do hexágono, distintas de IK, quantas têm o mesmo comprimento de IK?
A) 1
B) 2
C) 4
D) 8
E) 9
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Geometria Espacial, Polígonos Regulares, Visualização em 3D.
📝 Tema/Objetivo Geral:
Analisar as diagonais de um hexágono regular inserido em um cubo e identificar aquelas que têm comprimento igual a uma diagonal dada.
📊 Nível da Questão:
Médio — exige raciocínio espacial e reconhecimento das simetrias do hexágono regular.
🎯 Gabarito:
B
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📄 O enunciado descreve um hexágono regular, chamado IMNKPQ, cujos vértices estão nos pontos médios das arestas de um cubo.
📌 A questão quer saber quantas diagonais desse hexágono, diferentes da diagonal IK, têm o mesmo comprimento de IK.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📐 Um hexágono regular tem todos os lados e ângulos iguais, e suas diagonais são classificadas de três formas:
- As que ligam vértices consecutivos: são os lados do hexágono.
- As que ligam vértices com um vértice de intervalo entre eles: diagonais médias.
- As que ligam vértices opostos (três lados de intervalo): são as diagonais maiores, como IK.
🔁 Todas as diagonais do terceiro tipo em um hexágono regular têm o mesmo comprimento.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 O hexágono dado é IMNKPQ.
✔ Isso quer dizer que os vértices estão nesta ordem ao longo do polígono:
I → M → N → K → P → Q → (e volta para I)
🔹 A diagonal IK liga vértices com três lados de intervalo. Logo, é uma diagonal maior do hexágono.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Para encontrar diagonais iguais a IK, basta identificar as demais diagonais que ligam vértices opostos no hexágono.
🧩 O hexágono tem 6 vértices, e os pares de vértices opostos são:
- I e K → já dada.
- M e P
- N e Q
🔹 Todas essas diagonais são do mesmo tipo que IK e, portanto, têm o mesmo comprimento.
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
❌ A) 1 — Apenas IK? Não, há mais duas.
✅ B) 2 — Exatamente duas outras diagonais (MP e QN) além de IK têm o mesmo comprimento.
❌ C) 4 — Valor acima do correto.
❌ D) 8 — Exagerado.
❌ E) 9 — Muito acima.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Como o hexágono é regular, suas três diagonais maiores têm o mesmo comprimento. Além da diagonal IK, existem outras duas diagonais com o mesmo tamanho: MP e QN.
🔍 Resumo Final: Existem duas diagonais distintas de IK com o mesmo comprimento que ela.
✅ Alternativa correta: B.
