Questão 158, caderno azul do ENEM PPL 2018

Um projétil é lançado por um canhão e atinge o solo a uma distância de 150 metros do ponto de partida. Ele percorre uma trajetória parabólica, e a altura máxima que atinge em relação ao solo é de 25 metros.

Admita um sistema de coordenadas xy em que no eixo vertical y está representada a altura e no eixo horizontal x está representada a distância, ambas em metro. Considere que o canhão está no ponto (150; 0) e que o projétil atinge o solo no ponto (0; 0) do plano xy. A equação da parábola que representa a trajetória descrita pelo projétil é

A) y = 150x − x²

B) y = 3 750x − 25x²

C) 75y = 300x − 2x²

D) 125y = 450x − 3x²

E) 225y = 150x − x²

Resolução em texto

📘 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:

Matemática: Função quadrática (parábola).
Física: Interpretação de trajetória de projéteis.

📔 Nível da Questão:

Médio (ENEM padrão).

✅ Gabarito:

Alternativa E.

🎯 Tema/Objetivo Geral:

Encontrar a equação da parábola que representa a trajetória de um projétil conhecendo seu ponto de lançamento, alcance e altura máxima.

🔷 1º Passo: Análise do Comando e Definição do Objetivo

1.1 Análise do Comando:
A questão solicita a equação da parábola que representa o movimento do projétil.

1.2 O que precisamos buscar:

Identificar o formato da equação da parábola.
Usar os dados do enunciado (pontos conhecidos) para montar o sistema e resolver.

1.3 Palavras-chave importantes:

Trajetória parabólica.
Altura máxima de 25 metros.
Alcance horizontal de 150 metros.

1.4 Dica Geral (⚠️):
Dúvida comum:
“Por que a parábola é invertida?”
Resposta:
Porque o projétil sobe e depois desce, ou seja, a concavidade da parábola é voltada para baixo → o coeficiente a é negativo.

🔷 2º Passo: Interpretação e Visualização do Problema

Informações do problema:

Começo: ponto (0, 0) (lançamento).
Fim: ponto (150, 0) (alcança o solo de novo).
Altura máxima: 25 metros ocorre no meio do trajeto, em x = 75 metros (pois o movimento é simétrico).

Visualizando:

A parábola é do tipo y = ax² + bx + c.
Como passa pela origem, sabemos que c = 0.

Assim, nossa equação será do tipo:

y = ax² + bx

🔷 3º Passo: Explicação de Conceitos Necessários

3.1 Formato da Equação Quadrática:
Toda parábola tem a forma geral y = ax² + bx + c. Quando passa pela origem, c = 0.

3.2 Propriedade do Vértice:
O vértice da parábola ocorre exatamente no meio entre as raízes (quando o movimento é simétrico).
Assim:

x_v = (0 + 150) ÷ 2 = 75 m

Subpasso Especial (⚡ dúvida frequente):
Pergunta:
“Como saber que o x do vértice é 75 metros?”
Resposta:
Porque a trajetória é simétrica: o tempo de subida é igual ao tempo de descida. Então o ponto mais alto ocorre exatamente na metade do deslocamento horizontal (entre 0 e 150 m).

🔷 4º Passo: Cálculos Organizados

Equação base:

y = ax² + bx

Sabemos que:

Para o ponto (150, 0):
0 = a(150)² + b(150)
Para o vértice (75, 25):
25 = a(75)² + b(75)

Montando o sistema:

0 = 22500a + 150b → (equação 1)
25 = 5625a + 75b → (equação 2)

Isolando b da equação 1:

150b = -22500a

b = -150a

Substituindo em (2):

25 = 5625a + 75(-150a)

25 = 5625a – 11250a

25 = -5625a

a = -25 ÷ 5625

a = -1 ÷ 225

Substituindo o valor de a para achar b:

b = -150 × (-1 ÷ 225)

b = 150 ÷ 225

b = 2 ÷ 3

Portanto, a equação é:

y = (-1 ÷ 225)x² + (2 ÷ 3)x

Multiplicando tudo por 225 para eliminar frações:

225y = -x² + 150x

🔷 5º Passo: Análise das Alternativas

Alternativas:

A) y = 150x – x² → não bate o formato (sem 225).
B) y = 3750 – 25x² → nada a ver.
C) 75y = 300x – 2x² → coeficientes errados.
D) 125y = 450x – 3x² → coeficientes errados.
E) 225y = 150x – x² → EXATAMENTE o que encontramos!

✅ A resposta correta é Alternativa E.

🔷 6º Passo: Conclusão e Justificativa Final

Conclusão:
Usando os pontos de lançamento, alcance e altura máxima, deduzimos que a trajetória do projétil é dada pela equação:

225y = 150x – x²

Resumo Final:

A parábola representa a subida e descida do projétil.
O ponto máximo ocorre no meio do alcance.
A equação correta após todos os cálculos é a da Alternativa E.