O hábito cristalino é um termo utilizado por mineralogistas para descrever a aparência típica de um cristal em termos de tamanho e forma. A granada é um mineral cujo hábito cristalino é um poliedro com 30 arestas e 20 vértices. Um mineralogista construiu um modelo ilustrativo de um cristal de granada pela junção dos polígonos correspondentes às faces.
Supondo que o poliedro ilustrativo de um cristal de granada é convexo, então a quantidade de faces utilizadas na montagem do modelo ilustrativo desse cristal é igual a
A) 10.
B) 12.
C) 25.
D) 42.
E) 50.
Resolução em Texto
📌 🧮 Tema Geral:
- Aplicação da fórmula de Euler em poliedros convexos.
📚 Matérias Necessárias para a Solução
- Geometria Espacial
- Poliedros convexos
- Fórmula de Euler (V + F = A + 2)
🔢 Nível da Questão
🔹Fácil — exige apenas substituição correta na fórmula de Euler e atenção aos termos do enunciado.
✅ Gabarito
- Letra B
📝 Resolução Passo a Passo
🔍 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
🔹 Trecho-chave do comando:
“Supondo que o poliedro ilustrativo de um cristal de granada é convexo, então a quantidade de faces utilizadas na montagem do modelo ilustrativo desse cristal é igual a…”
🔹 🎯 Objetivo da questão:
Usar a fórmula de Euler para descobrir quantas faces tem o poliedro convexo descrito, com base no número de arestas e vértices fornecidos.
🔸 👉 O que ele quer saber?
Quer que você descubra quantas faces tem o poliedro, sabendo que ele possui 30 arestas e 20 vértices.
🔖 Palavras-chave:
poliedro convexo, fórmula de Euler, vértices, arestas, faces
📖 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
🔺 O que é um poliedro?
Um poliedro é um sólido geométrico com todas as faces planas, formadas por polígonos. Os elementos principais são:
- Vértices (V): Pontos onde se encontram três ou mais arestas.
- Arestas (A): Segmentos que unem os vértices (bordas das faces).
- Faces (F): Superfícies planas (polígonos) que compõem o sólido.
✳️ Fórmula de Euler
Para qualquer poliedro convexo, a relação entre o número de vértices (V), faces (F) e arestas (A) é dada pela fórmula de Euler:
- V + F = A + 2
Essa fórmula é válida apenas para poliedros sem buracos, ou seja, convexos e inteiros, como cubo, pirâmide, icosaedro, etc.
🧮 Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
O enunciado informa:
- O poliedro tem 30 arestas (A = 30)
- O poliedro tem 20 vértices (V = 20)
- Ele é convexo, então podemos aplicar a fórmula de Euler:
V+F=A+2
Queremos saber: quantas faces (F) esse poliedro possui?
🧾 Passo 4: Desenvolvimento do raciocínio
- Aplicando a fórmula de Euler:
V + F = A + 2
20 + F = 30 + 2
20 + F = 32
F = 32 – 20
F = 12
🧷 Passo 5: Análise das alternativas e resolução
A) 10 → Incorreta. O valor não satisfaz a equação de Euler.
B) 12 ✅ CORRETA.
Satisfaz perfeitamente a equação: 20+12=32=30+220 + 12 = 32 = 30 + 220+12=32=30+2
C) 25 → Muito acima do valor correto.
D) 42 → Exagerado, sugeriria um poliedro não convexo.
E) 50 → Seria absurdo para essa estrutura.
🎯Passo 6: Conclusão e justificativa final
A questão pede o número de faces de um poliedro convexo com 30 arestas e 20 vértices. Aplicando a fórmula de Euler, obtemos F=12
Portanto, a quantidade de faces é:
✅ Alternativa correta: B
