Um vidraceiro precisa construir tampos de vidro com formatos diferentes, porém com medidas de áreas iguais. Para isso, pede a um amigo que o ajude a determinar uma fórmula para o cálculo do raio R de um tampo de vidro circular com área equivalente à de um tampo de vidro quadrado de lado L.
A fórmula correta é
Resolução em texto
📘 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Geometria Plana, Área do Círculo, Área do Quadrado, Manipulação de Equações com Raiz Quadrada.
📔 Nível da Questão:
Fácil
✅ Gabarito:
A) R = L / √π
🎯 Tema/Objetivo Geral:
Determinar uma fórmula para o raio de um círculo cuja área seja igual à de um quadrado de lado L, usando fórmulas básicas de geometria plana.
🔷 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Comando da questão:
“A fórmula para o cálculo do raio R de um tampo de vidro circular com área equivalente à de um tampo de vidro quadrado de lado L…”
📌 Explicação Detalhada:
O objetivo é igualar as áreas dos dois formatos de tampo:
- Um quadrado com lado L
- Um círculo com raio R
Devemos encontrar uma expressão R = f(L) que garanta que as áreas sejam iguais.
📌 Palavras-chave:
Raio, lado, área equivalente, círculo, quadrado.
📌 Objetivo:
Determinar a fórmula de R em função de L, ou seja, o raio necessário para que o círculo tenha a mesma área do quadrado.
⚠️ Dica Geral: Sempre que a questão falar em “mesma área”, podemos igualar as fórmulas das áreas e isolar a incógnita desejada.
🔷 Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 1. Fórmula da área do círculo:
A = π × R²
📌 2. Fórmula da área do quadrado:
A = L²
📌 3. Igualdade de áreas:
Se as áreas são iguais, basta igualar as duas expressões:
π × R² = L²
📌 4. Isolamento do raio R:
Para encontrar o valor de R, basta resolver a equação em função de L.
🔷 Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 A área do quadrado (com lado L) é:
A = L²
📌 A área do círculo (com raio R) é:
A = π × R²
📌 Como o problema quer áreas iguais, temos:
L² = π × R²
Queremos descobrir R em função de L.
🔷 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Igualando as áreas:
L² = π × R²
Agora isolamos R²:
R² = L² / π
Aplicando a raiz quadrada dos dois lados:
R = √(L² / π)
R = L / √π
📌 Essa é a fórmula final que representa o raio do círculo com a mesma área do quadrado de lado L.
🔷 Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 A) R = L / √π → ✅ Correta
📌 B) R = L / √2π → ❌ Extra com 2 desnecessário
📌 C) R = L² / 2π → ❌ Incorreta: L² não está dentro da raiz
📌 D) R = √(2L / π) → ❌ Incorreta: estrutura da fórmula está errada
📌 E) R = 2√(L / π) → ❌ Raiz fora de proporção
✅ Alternativa correta: A
🔷 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
Usamos as fórmulas conhecidas da geometria para igualar áreas:
- Área do quadrado: L²
- Área do círculo: π × R²
A partir da igualdade, isolamos R e chegamos a R = L / √π
📌 Reafirmação da Alternativa Correta:
✅ Alternativa A – R = L / √π
🔍 Resumo Final:
Questões de equivalência de áreas pedem raciocínio direto: iguala as fórmulas, isola a variável pedida e simplifica com clareza. Aqui, a chave foi manter a atenção nas unidades e manipular corretamente a raiz quadrada.
