Uma empresa de transporte disponibiliza, para embalagem de encomendas, caixas de papelão no formato de paralelepípedo retoretângulo, conforme dimensões no quadro.
Para embalar uma encomenda, contendo um objeto esférico com 11 cm de raio, essa empresa adota como critério a utilização da caixa, dentre os modelos disponíveis, que comporte, quando fechada e sem deformá-la, a encomenda e que possua a menor área de superfície total.
Desconsidere a espessura da caixa. Nessas condições, qual dos modelos apresentados deverá ser o escolhido pela empresa?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução
- Geometria espacial – paralelepípedo
- Área de superfície total
- Análise dimensional de objetos tridimensionais
🔢 Nível da Questão
🔹Médio, pois exige bom entendimento espacial, leitura de tabela e agilidade no cálculo da área superficial de sólidos.
✅ Gabarito
- Alternativa E) Modelo 5
📝 Resolução Passo a Passo
🔍 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
A questão pede para escolher uma caixa (paralelepípedo) que:
- Comporte uma esfera de 11 cm de raio (diâmetro = 22 cm)
- Não se deforme ao ser fechada
- Possua a menor área superficial total
🎯 Nosso objetivo é:
Escolher a caixa com todas as dimensões ≥ 22 cm, e menor área superficial
📖 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
🔵 1. Objeto esférico
- Raio = 11 cm → Diâmetro = 22 cm
- A caixa deve ter no mínimo 22 cm em TODAS as três dimensões:
➡️ Comprimento, largura e altura ≥ 22 cm
📦 2. Área superficial do paralelepípedo
- A fórmula da área total de um paralelepípedo é:
A = 2 × (C × L + C × A + L × A)
Onde:
C = comprimento
L = largura
A = altura
🧾Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
Analisando a tabela:
| Modelo | Comp. | Larg. | Altura |
|---|---|---|---|
| 1 | 12 | 12 | 13 ❌ |
| 2 | 23 | 20 | 25 ❌ (20 < 22) |
| 3 | 25 | 25 | 25 ✅ |
| 4 | 26 | 25 | 24 ✅ |
| 5 | 23 | 26 | 26 ✅ |
📌 Modelos 1 e 2 não servem, pois têm alguma dimensão < 22 cm
Vamos comparar os modelos 3, 4 e 5
🧠
Passo 4: Desenvolvimento do raciocínio
Vamos calcular a área total (A) para cada modelo restante:
Modelo 3: 25 × 25 × 25
- A = 2 × (25×25 + 25×25 + 25×25)
- A = 2 × (625 + 625 + 625) = 2 × 1875 = 3750 cm²
Modelo 4: 26 × 25 × 24
- A = 2 × (26×25 + 26×24 + 25×24)
- A = 2 × (650 + 624 + 600) = 2 × 1874 = 3748 cm²
Modelo 5: 23 × 26 × 26
- A = 2 × (23×26 + 23×26 + 26×26)
- A = 2 × (598 + 598 + 676) = 2 × 1872 = 3744 cm²
🧪 Passo 5: Análise das Alternativas
A) Modelo 1
❌ Altura = 13 cm → inviável
B) Modelo 2
❌ Largura = 20 cm → inviável
C) Modelo 3
✅ Aceita o objeto, mas área = 3750 cm²
D) Modelo 4
✅ Aceita, área = 3748 cm²
E) Modelo 5
✔️ Aceita e possui a menor área superficial: 3744 cm²
🧷 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Para comportar a esfera de 22 cm de diâmetro, a caixa escolhida deve ter todas as dimensões maiores ou iguais a 22 cm.
Eliminando os modelos inviáveis e comparando os modelos restantes, verificamos que:
- O modelo 5 tem dimensões adequadas
- E apresenta a menor área superficial total, reduzindo o uso de material
✅ Gabarito: E) Modelo 5
