No ano de 1751, o matemático Euler conseguiu demonstrar a famosa relação para poliedros convexos que relaciona o número de suas faces (F), arestas (A) e vértices (V): V + F = A + 2. No entanto, na busca dessa demonstração, essa relação foi sendo testada em poliedros convexos e não convexos. Observou-se que alguns poliedros não convexos satisfaziam a relação e outros não. Um exemplo de poliedro não convexo é dado na figura. Todas as faces que não podem ser vistas diretamente são retangulares.
Qual a relação entre os vértices, as faces e as arestas do poliedro apresentado na figura?
A) V + F = A
B) V + F = A – 1
C) V + F = A + 1
D) V + F = A + 2
E) V + F = A + 3
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria Espacial, Relação de Euler
📝 Tema/Objetivo Geral: Verificar a validade da fórmula de Euler em um poliedro não convexo por meio da contagem direta de vértices, faces e arestas.
📊 Nível da Questão: Médio
🎯 Gabarito: E
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
O enunciado apresenta a fórmula de Euler para poliedros convexos: V + F = A + 2, e informa que alguns poliedros não convexos também satisfazem essa fórmula, mas nem todos. O poliedro apresentado na figura é um exemplo não convexo, e a pergunta é sobre qual relação existe entre os vértices (V), as faces (F) e as arestas (A) dessa figura.
🔹 Palavras-chave: poliedro não convexo, vértices, arestas, faces, relação V + F = A + k.
Nosso objetivo é contar quantos vértices, faces e arestas esse poliedro tem, e verificar a relação entre eles.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 A relação de Euler é usada para poliedros convexos e tem a forma:
V + F = A + 2
🔹 Onde:
- V é o número de vértices;
- F é o número de faces;
- A é o número de arestas.
✔ Essa relação pode não se aplicar a poliedros não convexos, como o da figura, então precisamos verificar caso a caso.
É necessário saber contar faces invisíveis, arestas ocultas e vértices não aparentes, analisando a figura com atenção.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
A imagem mostra um poliedro não convexo que lembra um bloco retangular com um buraco retangular no meio, como se fosse uma “argola retangular” de faces retangulares.
🔹 A pergunta quer que a gente conte os vértices, faces e arestas do sólido e veja se a relação de Euler se mantém ou se altera.
📌 Então, o enunciado quer saber quantas unidades temos de V, F e A e qual é o valor de V + F – A.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Vamos contar os vértices primeiro:
A figura tem:
- 4 vértices na parte superior externa,
- 4 vértices na parte superior do buraco interno,
- 4 vértices na base externa,
- 4 vértices na base interna.
✔ Total de vértices: 4 + 4 + 4 + 4 = 16 vértices
Agora as faces:
🔹 O sólido é formado por:
- 1 face superior (com buraco),
- 1 base inferior,
- 4 faces nas laterais externas,
- 4 faces internas (parede do buraco),
- 1 face no fundo do buraco.
✔ Total de faces: 1 + 1 + 4 + 4 + 1 = 11 faces
Por fim, as arestas:
🔹 Arestas superiores (externas + internas): 4 + 4 = 8
🔹 Arestas inferiores (externas + internas): 4 + 4 = 8
🔹 Arestas verticais (externas + internas): 4 + 4 = 8
✔ Total de arestas: 8 + 8 + 8 = 24 arestas
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
A) V + F = A
❌ 16 + 11 = 27, mas A = 24 → 27 ≠ 24
B) V + F = A – 1
❌ 27 ≠ 23
C) V + F = A + 1
❌ 27 ≠ 25
D) V + F = A + 2
❌ 27 ≠ 26
E) V + F = A + 3
✅ Correta. Temos 16 vértices, 11 faces e 24 arestas, e 16 + 11 = 27 = 24 + 3.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Após contar cuidadosamente todos os vértices (16), faces (11) e arestas (24) do poliedro, observamos que a relação de Euler não se manteve. O resultado foi V + F = A + 3, o que comprova que este poliedro não convexo não satisfaz a fórmula original de Euler.
🔍 Resumo Final: A relação observada no poliedro apresentado foi V + F = A + 3, ou seja, a soma de vértices e faces excede em 3 o número de arestas, diferentemente da fórmula clássica de Euler para poliedros convexos.
✅ Alternativa correta: E.
