A massa de um tanque de combustível depende:
I. da quantidade de combustível nesse tanque;
II. do tipo de combustível que se utiliza no momento;
III. da massa do tanque quando está vazio.
Sabe-se que um tanque tem massa igual a 33 kg quando está cheio de gasolina, 37 kg quando está cheio de etanol e que a densidade da gasolina é sete oitavos da densidade do etanol. Qual é a massa, em quilograma, do tanque vazio?
A) 1,0
B) 3,5
C) 4,0
D) 5,0
E) 9,0
✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática (Álgebra): Sistemas de Equações do 1º Grau.
- Física: Conceito de Densidade (
d=m/V) e relação entre massa e volume. - Aritmética: Razão, Proporção e Frações.
Tema/Objetivo Geral:
Determinar a massa constante de um recipiente (tanque vazio) a partir da variação da massa total quando preenchido por diferentes substâncias com densidades distintas.
Nível da Questão
Médio. O desafio exige a transposição da informação física (densidade) para a linguagem algébrica. O aluno deve perceber que, como o volume do tanque é constante, a razão entre as densidades é a mesma razão entre as massas dos combustíveis.
Gabarito
Alternativa D (5,0). Ao modelarmos o sistema de equações baseado nas massas totais (33 kg e 37 kg) e na proporção de 7/8 entre os combustíveis, descobrimos que o conteúdo pesa 28 kg ou 32 kg, deixando sempre 5,0 kg para a estrutura do tanque.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é descobrir o “peso morto” do objeto. Queremos saber quantos quilos a balança marcaria se o tanque estivesse completamente vazio.
Simplificação Radical: Imagine uma mochila. Se você a enche de algodão (mais leve), o conjunto pesa 33 kg. Se a enche de areia (mais pesada), o conjunto pesa 37 kg. O desafio é descobrir o peso da mochila sozinha, sabendo que o “recheio” de algodão pesa exatamente 7/8 do recheio de areia.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Identificar as variáveis: Nomear a massa do tanque, da gasolina e do etanol.
- Relacionar as massas: Usar a informação da densidade para ligar a massa da gasolina à do etanol.
- Montar o sistema: Criar duas equações com os pesos totais fornecidos.
- Resolver a álgebra: Isolar e encontrar o valor da massa do tanque.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para esta investigação físico-matemática, utilizaremos o Dossiê de Massas e Densidades:
- Variáveis:
- T = Massa do tanque vazio.
- G = Massa da gasolina (cheio).
- E = Massa do etanol (cheio).
- O Pulo do Gato (Física): A densidade é massa dividida pelo volume. Como o tanque é o mesmo, o volume é igual. Se a densidade da gasolina é 7/8 da do etanol, então a sua massa também será 7/8 da massa do etanol.
- G = (7 / 8) * E
- Sistema de Equações:
- T + G = 33
- T + E = 37
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos resolver o sistema de forma estratégica:
1. Substituindo a relação de massas:
Na primeira equação, trocamos G por (7/8)E:
- T + (7/8)E = 33 (Equação A)
- T + E = 37 (Equação B)
2. Eliminando o Tanque (T):
Vamos subtrair a Equação A da Equação B para ver a diferença apenas dos combustíveis:
- (T + E) – (T + 7/8 E) = 37 – 33
- E – 7/8 E = 4
3. Descobrindo o Etanol:
Para resolver E – 7/8 E, pense em fatias de pizza: uma pizza inteira (8/8) menos sete oitavos sobra um oitavo.
- 1/8 E = 4
- E = 4 * 8
- E = 32 kg. (O etanol sozinho pesa 32 kg).
4. Finalizando o caso (O Tanque):
Se o tanque com etanol pesa 37 kg e o etanol sozinho pesa 32 kg:
- T + 32 = 37
- T = 37 – 32
- T = 5,0 kg.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum aqui é tentar tirar a média simples entre 33 e 37 ou se perder na fração 7/8, aplicando-a sobre o peso total (33 ou 37). Lembre-se: a proporção de 7/8 vale apenas para o líquido, e não para o ferro do tanque. O tanque é o valor fixo que “atrapalha” a regra de três direta.
A Bússola (O Perfil do Culpado)
- Síntese do raciocínio: A diferença de 4 kg entre as situações deve-se exclusivamente ao fato de que 1/8 da massa do etanol foi “retirada” ao trocar por gasolina. Logo, o etanol total é 32 kg.
- Expectativa: Um valor que, somado a 32, resulte em 37.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 1,0
- Narrativa do Erro: O aluno supõe um tanque muito leve, quase inexistente, e erra a proporção das densidades.
- Diagnóstico do Erro: Erro de escala e magnitude.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
B) 3,5
- Narrativa do Erro: Provável erro na manipulação da fração 7/8 ou na subtração dos valores totais.
- Diagnóstico do Erro: Erro aritmético básico.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
C) 4,0
- Narrativa do Erro: O aluno vê a diferença entre 37 e 33 (que é 4) e assume que esse valor é a massa do tanque.
- Diagnóstico do Erro: Confundir a Variação de Massa com a Massa de Repouso.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
D) 5,0
- Análise: Perfeito. Segue a lógica do sistema: se o tanque pesa 5 kg, a gasolina pesa 28 kg e o etanol pesa 32 kg. Note que 28 é exatamente 7/8 de 32 (28 / 32 = 7 / 8). Tudo encaixa.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
E) 9,0
- Narrativa do Erro: O aluno inverte a lógica da densidade ou superestima o peso do recipiente metálico.
- Diagnóstico do Erro: Desvio total do método algébrico.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta final é a Alternativa D. Essa questão é um exemplo brilhante de como a matemática ajuda a medir o que não podemos ver (o peso de um objeto vazio quando ele está cheio).
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“A diferença de 4 kg é 1/8 do etanol; então o etanol é 32 e o tanque é o 5 que sobrou no painel!”
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este princípio de “Subtração de Tara” é usado em toda a Logística Global. Caminhões de carga são pesados em balanças de rodovia. O fiscal sabe o peso do caminhão vazio (a tara). Ao subtrair a tara do peso total, ele descobre exatamente quantos quilos de mercadoria estão sendo transportados sem precisar descarregar o veículo. Na Química Analítica, usamos isso para pesar reagentes em béqueres, zerando a balança com o recipiente vazio (o famoso botão “Tare”).
