Questão 149, caderno azul do ENEM PPL 2021

Em uma fábrica de circuitos elétricos, há diversas linhas de produção e montagem. De acordo com o controle de qualidade da fábrica, as peças produzidas devem seguir um padrão. Em um processo produtivo, nem todas as peças produzidas são totalmente aproveitáveis, ou seja, há um percentual de peças defeituosas que são descartadas. Em uma linha de produção dessa fábrica, trabalham três máquinas, M₁, M₂ e M₃, dia e noite.
A máquina M₁ produz 25% das peças, a máquina M₂ produz 30% e a máquina M₃ produz 45%. O percentual de peças defeituosas da máquina M₁ é de 2%, da máquina M₂ é de 3% e da máquina M₃ é igual a 4%.

A probabilidade de uma peça defeituosa ter sido produzida pela máquina M₂ é mais próxima de:
a) 15,6%
b) 28,1%
c) 43,7%
d) 56,2%
e) 71,8%

✍ Resolução Em Texto

Matérias Necessárias para a Solução da Questão

Matemática (Probabilidade): Probabilidade Condicional e Teorema de Bayes.
Aritmética: Porcentagem e Operações com decimais.
Lógica Matemática: Interpretação de espaços amostrais reduzidos.

Tema/Objetivo Geral:
Calcular a probabilidade de um evento específico (origem na Máquina M2) dado que um evento condicionante já ocorreu (a peça é defeituosa), utilizando a análise de proporções em uma linha de produção industrial.

Nível da Questão
Médio. O desafio exige que o aluno não apenas calcule as porcentagens, mas entenda que o “universo” da questão mudou: não estamos mais olhando para todas as peças da fábrica, mas apenas para a “pilha de lixo” (as defeituosas).

Gabarito
Alternativa B (28,1%). Entre todas as peças produzidas, as defeituosas da Máquina M2 representam 0,9% do total, enquanto o total de defeitos da fábrica é 3,2%. A razão 0,9 / 3,2 resulta em aproximadamente 28,1%.

1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)

Decodificação do Objetivo: A missão é identificar o “grau de culpa” da Máquina M2 no total de erros da fábrica. Já sabemos que a peça é ruim; agora queremos saber qual a chance de a Máquina M2 ser a responsável por esse erro específico.

Simplificação Radical: Imagine que três confeiteiros fazem bolos. O confeiteiro M2 faz 30% dos bolos, mas erra a receita em 3% das vezes. Se você recebeu um bolo solado (estragado), qual a chance de ter sido o M2 quem o fez? O desafio é comparar o “lixo” do M2 com o “lixo total” da padaria.

Nosso Plano de Ataque será o seguinte:

Calcular o “Lixo Individual”: Descobrir quanto de peça ruim cada máquina gera em relação à fábrica inteira.
Somar o “Lixo Total”: Descobrir o tamanho da pilha de peças defeituosas.
Calcular a Probabilidade Condicional: Dividir o lixo da M2 pelo lixo total.

2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)

Para esta perícia industrial, utilizaremos o Dossiê da Probabilidade Condicional (Regra de Bayes):

Probabilidade Condicional: P(A|B) = P(A e B) / P(B).
No nosso caso: P(M2 | Defeito) = (Defeitos da M2) / (Total de Defeitos).

Ficha Técnica de Produção (Cálculo de Probabilidades de Interseção):

Peças ruins da M1: 25% de produção * 2% de erro = 0,25 * 0,02 = 0,005 (0,5%).
Peças ruins da M2: 30% de produção * 3% de erro = 0,30 * 0,03 = 0,009 (0,9%).
Peças ruins da M3: 45% de produção * 4% de erro = 0,45 * 0,04 = 0,018 (1,8%).

3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)

Vamos executar a perícia nos dados:

1. O Tamanho do Problema (Pilha de Defeitos):
Somamos todas as peças ruins geradas na fábrica:
Total de Defeitos = 0,005 (M1) + 0,009 (M2) + 0,018 (M3)
Total de Defeitos = 0,032 (ou 3,2% de todas as peças).

2. O Foco na Máquina M2:
Sabemos que a peça analisada ESTÁ nessa pilha de 3,2%. Queremos saber a chance de ela ser um daqueles 0,9% que vieram da M2.

3. O Cálculo Final:
Probabilidade = (Parte) / (Todo)
Probabilidade = 0,009 / 0,032
Probabilidade = 9 / 32
Probabilidade = 0,28125.

Convertendo para porcentagem: 28,1%.

🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais sedutor aqui é o aluno marcar a Alternativa A (15,6%) ou tentar usar apenas o “3%” de erro da máquina isoladamente. Muitos acham que, se a máquina erra 3%, a resposta deve ser algo perto de 3%. Mas lembre-se: estamos comparando a M2 com as outras máquinas. Como as outras erram mais ou produzem mais, a “fatia de culpa” da M2 é diluída ou aumentada no total.

A Bússola (O Perfil do Culpado)

Síntese do raciocínio: Divisão da taxa de erro ponderada da M2 (0,9%) pela taxa de erro global da linha (3,2%).
Expectativa: Um valor próximo de 28%.

4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)

a) 15,6%

Narrativa do Erro: O aluno pode ter errado a soma total dos defeitos ou cometido uma falha na divisão decimal.
Diagnóstico do Erro: Erro aritmético.
Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

b) 28,1%

Análise: Perfeito. Segue rigorosamente o Teorema de Bayes, dividindo a probabilidade da interseção (M2 e Defeito) pela probabilidade total do evento condicionante (Defeito).
Conclusão: 🟢 Alternativa correta.

c) 43,7%

Narrativa do Erro: O aluno pode ter invertido as proporções ou focado apenas na Máquina M3 por ser a maior produtora.
Diagnóstico do Erro: Falha na atribuição de pesos.
Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

d) 56,2%

Narrativa do Erro: Valor que surgiria se o aluno considerasse apenas duas máquinas ou errasse a escala de porcentagem.
Diagnóstico do Erro: Cálculo parcial ou erro de escala.
Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

e) 71,8%

Narrativa do Erro: O aluno calcula a probabilidade de a peça NÃO ser da M2 ou de ser da M3, confundindo os alvos.
Diagnóstico do Erro: Inversão do objetivo da questão.
Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)

A resposta final é a Alternativa B. Essa lógica prova que, embora a Máquina M2 não seja a que mais erra (a M3 erra 4%), ela ainda é responsável por quase 30% dos problemas da fábrica.

Resumo-flash (A Imagem Mental):
“O erro da máquina (0,9) sobre o erro da praça (3,2) dá a chance da desgraça!”

🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este princípio é a base dos Testes de Diagnóstico Médico. Quando você faz um exame para uma doença rara e o resultado dá “positivo”, a chance de você realmente estar doente (o valor preditivo positivo) é calculada exatamente como fizemos aqui. Considera-se a porcentagem de pessoas doentes na população (produção) e a taxa de erro do exame (falso positivo). Na Inteligência Artificial, o filtro de Spam do seu e-mail usa Bayes para decidir se uma mensagem é lixo baseada nas palavras que ela contém.