Um casal decidiu aplicar em um fundo de investimentos que tem uma taxa de rendimento de 0,8% ao mês, num regime de capitalização composta.
O valor final F a ser resgatado, depois de n meses, a uma taxa de rendimento mensal x, é dado pela expressão algébrica F = C (1 + x)n, em que C representa o capital inicial aplicado.
O casal planeja manter a aplicação pelo tempo necessário para que o capital inicial de R$ 100 000,00 duplique, sem outros depósitos ou retiradas.
Fazendo uso da tabela, o casal pode determinar esse número de meses.
Para atender ao seu planejamento, o número de meses determinado pelo casal é:
a) 156.
b) 125.
c) 100.
d) 10.
e) 1,5.
✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática Financeira: Juros Compostos.
- Álgebra: Funções Exponenciais e Logaritmos.
- Aritmética: Divisão com números decimais.
Tema/Objetivo Geral:
Determinar o tempo de investimento (n) necessário para atingir uma meta financeira específica (duplicação de capital) utilizando ferramentas logarítmicas para resolver equações exponenciais.
Nível da Questão
Médio. A questão exige que o aluno saiba transformar a taxa percentual em decimal, monte a equação de juros compostos e utilize corretamente a propriedade do logaritmo da potência para isolar o tempo.
Gabarito
Alternativa C (100). Ao aplicar logaritmos na equação de duplicação, dividimos o log(2) pelo log(1,008). Consultando a tabela, temos 0,30 / 0,003, o que resulta em exatos 100 meses.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é descobrir em quantos meses o “bolo de dinheiro” do casal vai dobrar de tamanho, crescendo 0,8% todo mês sobre o valor que já estava lá.
Simplificação Radical: Pense no investimento como uma planta que cresce um pouquinho todo dia. Queremos saber em que mês ela terá o dobro da altura original. O desafio é que o tempo (n) está “escondido” no expoente, e o logaritmo é a lanterna que usamos para trazê-lo para baixo e conseguir fazer a conta.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Montar a Equação: Substituir o valor final (F) pelo dobro do capital (2C).
- Simplificar: Eliminar os valores monetários para focar apenas na taxa e no tempo.
- Aplicar Logaritmos: Usar os dados da tabela para “derrubar” o expoente n.
- Resolver a Divisão: Encontrar o valor de n.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para esta perícia financeira, utilizaremos o Dossiê de Exponenciais e Logaritmos:
- Equação Fundamental: F = C * (1 + x)^n.
- Taxa Decimal: 0,8% = 0,8 / 100 = 0,008. Logo, (1 + x) = 1,008.
- Condição de Duplicação: Queremos que F seja igual a 2 * C.
- Propriedade do Escorrego: log(A^n) = n * log(A). O expoente desce multiplicando.
- Dados da Tabela:
- log(2) = 0,30.
- log(1,008) = 0,003.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos executar os cálculos passo a passo:
1. Montando a igualdade:
2 * C = C * (1,008)^n
Podemos cortar o C de ambos os lados (o tempo para dobrar não depende de quanto dinheiro você tem no início).
2 = (1,008)^n
2. Aplicando o Logaritmo:
log(2) = log(1,008^n)
Usando a propriedade da potência:
log(2) = n * log(1,008)
3. Substituindo pelos valores da tabela:
0,30 = n * 0,003
4. Isolando o n:
n = 0,30 / 0,003
Multiplicando ambos por 1.000 para facilitar:
n = 300 / 3
n = 100 meses.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum aqui é se perder na conversão da taxa. Se você usar 1,8 (Alternativa E) em vez de 1,008, ou confundir o logaritmo de 1,08 (Alternativa B), você chegará a valores totalmente errados. Note que a tabela fornece vários valores (distratores) como 0,03 e 0,20 apenas para testar se você sabe identificar a taxa correta de 0,8% (0,008).
A Bússola (O Perfil do Culpado)
- Síntese do raciocínio: Divisão do logaritmo do objetivo (dobrar = 2) pelo logaritmo da taxa de crescimento (1,008).
- Expectativa: Um valor exato de 100 meses.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
a) 156.
- Narrativa do Erro: O aluno pode ter errado a manipulação decimal ou tentado usar o valor de log(3) de forma indevida.
- Diagnóstico do Erro: Erro de substituição de variáveis da tabela.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
b) 125.
- Narrativa do Erro: O aluno pode ter confundido log(1,008) com algum outro valor ou errado a divisão final.
- Diagnóstico do Erro: Erro aritmético.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
c) 100.
- Análise: Perfeito. Segue a lógica correta: log(2)/log(1,008) = 0,30/0,003 = 100.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
d) 10.
- Narrativa do Erro: O aluno errou a vírgula na divisão 0,30 / 0,003, achando que era apenas 10 em vez de 100.
- Diagnóstico do Erro: Erro de escala decimal.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
e) 1,5.
- Narrativa do Erro: Tentativa de relacionar os números 3 e 2 da tabela de forma simplista (3 / 2 = 1,5).
- Diagnóstico do Erro: Desvio total do método logarítmico.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta final é a Alternativa C. Entender logaritmos é essencial para planejar sua aposentadoria ou investimentos de longo prazo, onde o “tempo” é sempre a variável mais poderosa.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“O expoente desce, o logaritmo divide e o tempo decide!”
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este mesmo cálculo de “Tempo de Duplicação” é usado na Microbiologia para prever o crescimento de colônias de bactérias e na Engenharia Nuclear para calcular a meia-vida de elementos radioativos. A matemática dos juros compostos é a mesma matemática que rege os processos de crescimento e decaimento na natureza; se uma população de bactérias cresce a uma taxa constante, o tempo para ela dobrar de tamanho é calculado exatamente como o dinheiro do casal nesta questão.
