Para tornar uma pista de automobilismo mais segura, foram solicitadas intervenções em seu traçado. Os engenheiros contratados elaboraram um projeto com cinco possíveis modificações, destacadas nos setores (I), (II), (III), (IV) e (V) pelas linhas tracejadas, como mostra a figura. No entanto, na temporada atual, só é permitido que se façam duas dessas alterações.
Todos os trechos passíveis de modificação, tanto no traçado original quanto no novo traçado, são semicircunferências ou segmentos de reta.
Pretende-se que a nova pista tenha extensão mais próxima que a da original após duas modificações. Os trechos em comum da pista original e da nova pista não serão alterados.
Utilize 3 como aproximação para π.
Para atender às condições apresentadas, quais setores deverão ser modificados?
A) I e V
B) II e III
C) II e V
D) III e IV
E) IV e V
✍ “Resolução Em Texto”
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Geometria Plana (Perímetro, Triângulos e Circunferência).
Aritmética (Soma e Subtração de Variações).
Tema/Objetivo Geral:
Calcular o impacto no comprimento total de uma pista ao realizar trocas de trechos, buscando uma combinação onde a perda de extensão de uma parte seja compensada pelo ganho de extensão de outra.
Nível da Questão
Médio.
Exige muitos cálculos separados. O aluno precisa calcular o “antes” e o “depois” de 5 cenários diferentes. É fácil se perder nos sinais (+ ou -) ou esquecer de aplicar a aproximação de π = 3.
Gabarito
Letra C (II e V).
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A pista vai sofrer duas plásticas. Queremos que, no final, o tamanho total dela fique igual (ou muito próximo) ao tamanho original. Isso significa que se uma plástica aumentar a pista em X metros, a outra plástica tem que diminuir a pista em X metros para anular o efeito.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que você tem uma conta bancária com saldo X.
Você vai fazer duas transações.
Se na primeira você sacar 200 reais (-200), na segunda você precisa depositar 200 reais (+200) para o saldo final ser igual ao inicial.
O jogo é encontrar esse par perfeito de “perda e ganho”.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Auditoria Geral: Calcular a variação (Delta) de cada um dos 5 setores.
- Variação = Tamanho Novo (Tracejado) – Tamanho Velho (Sólido).
- Matchmaking: Procurar dois setores cujas variações somadas deem zero.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Ferramenta 1: Comprimento da Semicircunferência
A semicircunferência é a metade de uma volta completa.
C = 2πR (Volta inteira).
Semi-C = πR.
Como π = 3, a fórmula fica: C = 3R.
Lembre-se: O Raio é metade do diâmetro (largura do trecho).
Ferramenta 2: Triângulo Retângulo (Setor II)
O trecho velho é a soma dos catetos. O trecho novo é a hipotenusa.
Para os lados 300 e 400, a hipotenusa é 500 (Triângulo Pitagórico 3-4-5 multiplicado por 100).
Ferramenta 3: Triângulo Equilátero (Setor V)
Dois lados de 200m com ângulo de 60º entre eles formam um triângulo equilátero se fechados. Porém, o desenho mostra uma conversão de um trecho reto de 200m para dois trechos de 200m formando bico. Vamos analisar com cuidado no passo a passo.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos calcular o “Delta” (Variação) de cada setor.
Sinal (+): Aumentou a pista.
Sinal (-): Diminuiu a pista.
Setor I (O Canto Reto)
- Velho: Duas pontas retas. (Pelo desenho, parece ser insignificante ou uma simples quina de 50+50 ou similar, mas vamos focar nos setores com números claros primeiro. Se precisarmos, voltamos aqui. Nota: Observando melhor a figura, parece ser uma troca de um canto reto por uma reta diagonal menor, ou vice-versa? O desenho é ambíguo, mas a escala sugere uma redução pequena. Vamos pular e ver os outros grandes.)
Setor II (O Atalho)
- Velho (Sólido): Cateto 300m + Cateto 400m = 700m.
- Novo (Tracejado): Hipotenusa.
3002+4002=500m3002+4002=500m. - Variação: 500 – 700 = -200m. (Redução de 200m).
Setor III (A Barriga)
- Velho (Sólido): Reta de 480m.
- Novo (Tracejado): Semicircunferência.
Diâmetro = 480m -> Raio = 240m.
Comp = 3 × R = 3 × 240 = 720m. - Variação: 720 – 480 = +240m. (Aumento de 240m).
Setor IV (A Curva)
- Velho (Sólido): Semicircunferência.
Diâmetro = 360m -> Raio = 180m.
Comp = 3 × 180 = 540m. - Novo (Tracejado): Reta de 360m.
- Variação: 360 – 540 = -180m. (Redução de 180m).
Atenção: A linha tracejada é reta e a sólida é curva? Ou vice-versa? O texto diz: “destacadas… pelas linhas tracejadas”. Logo, tracejado é o NOVO. No setor IV, o tracejado é a reta. Então trocamos curva por reta. Redução.
Setor V (O Bico)
- Velho (Sólido): Reta que fecha o triângulo. Se os outros lados são 200 e 200 com ângulo de 60º, o triângulo é equilátero. Então a reta velha media 200m.
- Novo (Tracejado): Dois lados de 200m. Total = 400m.
- Variação: 400 – 200 = +200m. (Aumento de 200m).
O Veredito do Detetive:
Temos as seguintes cartas na mesa:
- II: -200
- III: +240
- IV: -180
- V: +200
Precisamos de duas cartas que somem zero.
Olhe para o II (-200) e para o V (+200).
-200 + 200 = 0.
Bingo!
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A interpretação de “quem é o novo e quem é o velho” inverte o sinal. O texto diz: “modificações… destacadas… pelas linhas tracejadas”. Isso significa que o tracejado é a proposta (futuro).
- Setor II: Tracejado é menor (atalho). Sinal Negativo.
- Setor V: Tracejado é maior (bico). Sinal Positivo.
Se você inverter, acharia +200 e -200, o que também daria zero, mas erraria a lógica do processo.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: O setor II encurta a pista em 200m. O setor V alonga a pista em 200m. Juntos, eles anulam as alterações de comprimento.
- Expectativa: Procurar a alternativa II e V.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) I e V.
Diagnóstico do Erro: O setor V aumenta 200m. O setor I é visualmente pequeno demais para reduzir 200m.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) II e III.
Análise:
II (-200) + III (+240) = +40m.
Não é zero, mas é perto. O candidato poderia ficar em dúvida se errasse a conta.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) II e V.
Análise de Correspondência:
II (-200) + V (+200) = 0.
Extensão inalterada. Perfeito.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
D) III e IV.
Análise:
III (+240) + IV (-180) = +60m.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) IV e V.
Análise:
IV (-180) + V (+200) = +20m.
É um resultado muito bom (+20m é bem próximo de zero), o que torna essa alternativa um distrator fortíssimo. Porém, a opção C resulta em zero absoluto, o que é matematicamente superior a +20. Entre o perfeito e o bom, fique com o perfeito.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
A resposta é a Alternativa C, pois a redução de 200 metros proporcionada pela retificação da curva no setor II é exatamente compensada pelo acréscimo de 200 metros criado pelo desvio no setor V.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“O atalho do triângulo cortou o caminho (-200), mas o bico do outro lado devolveu a distância (+200). Zero a zero.”
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este problema usa princípios de Topografia e Compensação de Corte/Aterro. Em engenharia de estradas, quando você projeta uma rodovia, tenta equilibrar o volume de terra que você tira (corte) com o volume que você precisa colocar (aterro) para não ter que pagar caminhões para levar terra embora ou trazer terra de fora. Aqui fizemos o mesmo, mas com “comprimento de pista” em vez de “volume de terra”.
