Sete países americanos, Argentina, Brasil, Canadá, Chile, Estados Unidos, Paraguai e Uruguai; e sete países europeus, Portugal, Espanha, França, Inglaterra, Itália, Alemanha e Suíça, decidem criar uma comissão com representantes de oito desses países, objetivando criar políticas de incentivo e regulação do turismo entre eles.
Na hipótese de criação da comissão, serão escolhidos aleatoriamente quatro representantes de países das Américas e quatro representantes de países europeus, não podendo estar na comissão dois representantes de um mesmo país.
Qual é a probabilidade de o Brasil e a França pertencerem a essa comissão?
✍ “Resolução Em Texto”
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática (Análise Combinatória e Probabilidade).
Combinações Simples.
Probabilidade de Eventos Independentes.
Tema/Objetivo Geral:
Calcular a probabilidade conjunta de dois eventos independentes ocorrerem (escolha do Brasil no grupo americano e da França no grupo europeu).
Nível da Questão
Médio.
O conceito é simples, mas exige domínio da fórmula de Combinação e atenção para não confundir com Arranjo. A multiplicação das probabilidades dos dois grupos independentes é o pulo do gato.
Gabarito
Letra E.
A probabilidade de o Brasil ser escolhido é 4/7. A probabilidade de a França ser escolhida é 4/7. Como são eventos independentes, a probabilidade conjunta é a multiplicação: 16/49.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A questão quer saber a chance de dois países específicos entrarem numa festa VIP.
A festa tem duas listas de convidados separadas:
- Lista América: 7 candidatos, entram 4.
- Lista Europa: 7 candidatos, entram 4.
Queremos saber a chance de o Brasil entrar na lista da América E a França entrar na lista da Europa.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine dois sorteios de loteria acontecendo em salas separadas.
- Sala 1: Tem 7 bolas, sorteiam 4. Qual a chance da bola “Brasil” sair?
- Sala 2: Tem 7 bolas, sorteiam 4. Qual a chance da bola “França” sair?
Como o resultado de uma sala não afeta a outra, calculamos cada chance separada e multiplicamos no final.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Calcular a Probabilidade do Brasil: (Casos Favoráveis / Total Possível na América).
- Calcular a Probabilidade da França: (Casos Favoráveis / Total Possível na Europa).
- Multiplicar: Regra do “E” (Brasil E França).
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Existem duas formas de resolver:
- Via Análise Combinatória (Fórmula Pesada): Calcular todas as combinações possíveis de grupos.
- Via Probabilidade Direta (O Atalho do Mestre):
- Se tenho 7 países e vou escolher 4, a chance de um específico ser escolhido é simplesmente 4 em 7.
- Por que? Imagine que os 4 nomes sorteados já estão na mesa. O Brasil tem 4 chances de estar entre eles, num universo de 7 países.
Vamos usar o Atalho do Mestre porque é muito mais rápido e intuitivo.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos analisar os dois eventos independentes.
Evento A: Brasil ser escolhido.
- Total de países americanos: 7.
- Vagas disponíveis: 4.
- Se o sorteio é aleatório e justo, a chance de qualquer país (incluindo o Brasil) pegar uma das vagas é a razão entre vagas e candidatos.
- Probabilidade(Brasil) = 4/7.
Evento B: França ser escolhida.
- Total de países europeus: 7.
- Vagas disponíveis: 4.
- A lógica é idêntica.
- Probabilidade(França) = 4/7.
Evento Final: Brasil E França.
Na probabilidade, o conectivo “E” significa MULTIPLICAÇÃO (desde que os eventos sejam independentes, o que é verdade aqui, pois escolher o Brasil não impede nem ajuda a escolher a França).
Probabilidade Total = P(Brasil) x P(França)
Probabilidade Total = 4/7 x 4/7
Probabilidade Total = 16/49
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Calculamos a chance individual de cada país (4/7) e multiplicamos.
- Expectativa: A fração 16/49.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 1/182.
Diagnóstico do Erro: Cálculo Combinatório Complexo e Errado.
Análise: O aluno pode ter tentado fazer combinações complexas achando que só existia uma comissão possível com Brasil e França, esquecendo que os outros membros podem variar.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 1/49.
Diagnóstico do Erro: Confusão de Vagas.
Análise: O aluno calculou como se houvesse apenas 1 vaga para cada continente (1/7 x 1/7). Mas são 4 vagas! A chance é 4 vezes maior para cada um.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 1/4.
Diagnóstico do Erro: Simplificação Indevida.
Análise: Talvez o aluno pensou “são 4 vagas, então a chance é 1/4”, ignorando o total de países (7).
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 1/13.
Diagnóstico do Erro: Mistura dos Grupos.
Análise: O aluno somou os países (14) ou fez alguma conta misturando os dois continentes como se fosse um sorteio único.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 16/49.
Análise de Correspondência: Perfeita.
Análise: Representa o produto das probabilidades individuais (4/7 x 4/7).
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
A alternativa E é a correta pois a probabilidade de ocorrência simultânea de dois eventos independentes é o produto de suas probabilidades individuais: a chance de ocupar uma das 4 vagas em um grupo de 7 é 4/7 para ambos os países.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
Brasil tem 4 cadeiras em 7. França tem 4 cadeiras em 7. Multiplica!
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Esse raciocínio de “vagas sobre total” (k/n) funciona sempre que a escolha é aleatória simples (sem reposição, mas onde a ordem não importa para o sucesso). É o mesmo princípio usado em Loterias: se você joga 6 números na Mega-Sena (que sorteia 6), sua chance de acertar o primeiro número sorteado é 6/60.
