Uma faculdade oferece dois cursos diferentes na área de Humanas. Para um aluno ingressar nesses cursos, o vestibular contém questões objetivas e uma redação, e a nota final do candidato é a soma dessas notas, utilizando o seguinte critério de pesos:
• questões objetivas: peso 1 para o curso I e peso 1 para o curso II;
• redação: peso 2 para o curso I e peso 3 para o curso II.
Um candidato que concorre aos dois cursos obteve nota X nas questões objetivas e nota Y na redação. Para analisar sua nota para o curso I e para o curso II, o candidato representa sua nota com um produto de matrizes A . B, em que a matriz A representa os pesos, e a matriz B contém as notas obtidas pelo candidato.
A matriz resultante A . B é uma matriz coluna, em que, na primeira linha, tem sua nota final para o curso I e, na segunda linha, tem sua nota final para o curso II. Nessas condições, qual representação algébrica gera o resultado final desse candidato nos dois cursos?
Resolução em texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Álgebra Linear (Multiplicação de Matrizes)
Nível da Questão: Médio
Gabarito: B
Tema/Objetivo Geral: Representar, por meio do produto de matrizes, a nota final de um candidato em dois cursos diferentes, dados os pesos para prova objetiva (x) e redação (y).
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
A questão nos pede para encontrar a representação correta, em forma de multiplicação de matrizes, do cálculo das notas finais de um candidato para dois cursos diferentes. Precisamos montar a “Matriz de Pesos” (A) e a “Matriz de Notas” (B) da maneira exata que, ao serem multiplicadas, gerem as notas finais na ordem correta.
Simplificando, imagine que o cálculo de cada nota final é uma receita de bolo. As notas do candidato (X e Y) são os ingredientes fixos, e os pesos de cada curso são as quantidades que usamos em cada receita. O verdadeiro desafio aqui é organizar essas duas “receitas” (Nota do Curso I e Nota do Curso II) dentro da estrutura rígida de uma multiplicação de matrizes, garantindo que cada ingrediente seja multiplicado pela quantidade certa.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
1. Calcular as “Receitas” separadamente: Primeiro, vamos escrever a fórmula da nota final para o Curso I e para o Curso II usando a lógica de média ponderada.
2. Montar a Matriz de Resultado: Vamos organizar essas duas fórmulas na matriz coluna final que o problema descreve.
3. Revisar a Regra de Multiplicação de Matrizes: Vamos lembrar como funciona a operação de “linha vezes coluna”.
4. Testar as Opções: Analisaremos cada alternativa, realizando a multiplicação para ver qual delas gera a nossa matriz de resultado correta.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para organizar todos os dados do problema de forma clara, a ferramenta ideal é um Dossiê ou Ficha Técnica.
DOSSIÊ DA QUESTÃO: NOTAS E MATRIZES
- INFORMAÇÕES-CHAVE:
- Notas do Candidato:
- Questões Objetivas: X
- Redação: Y
- Pesos para o Curso I:
- Objetivas: 1
- Redação: 2
- Pesos para o Curso II:
- Objetivas: 1
- Redação: 3
- Notas do Candidato:
- DEFINIÇÕES DAS MATRIZES:
- Matriz A: Matriz dos Pesos.
- Matriz B: Matriz das Notas (X, Y).
- Matriz Resultante (A . B): Uma matriz coluna onde:
- Linha 1 = Nota Final do Curso I
- Linha 2 = Nota Final do Curso II
- FERRAMENTA MATEMÁTICA: MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
- A regra é sempre “linha multiplica coluna”. Para encontrar o elemento da primeira linha e primeira coluna do resultado, multiplicamos a primeira linha da Matriz A pela primeira (e única) coluna da Matriz B.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos agora executar nosso plano de ataque, seguindo a receita.
1. Calculando as Notas Finais:
- Nota Final do Curso I = (Peso Objetivas I × Nota X) + (Peso Redação I × Nota Y)
- Nota I = (1 * X) + (2 * Y) = X + 2Y
- Nota Final do Curso II = (Peso Objetivas II × Nota X) + (Peso Redação II × Nota Y)
- Nota II = (1 * X) + (3 * Y) = X + 3Y
2. Montando a Matriz de Resultado:
O enunciado diz que a matriz resultante (A . B) é uma matriz coluna com a Nota I na primeira linha e a Nota II na segunda. Portanto, o resultado que buscamos é:
A . B =
[ X + 2Y ]
[ X + 3Y ]
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
O erro mais comum em questões de matrizes é a organização dos elementos. A ordem importa, e muito! Se a Matriz de Notas (B) for [X; Y], então a primeira coluna da Matriz de Pesos (A) DEVE conter os pesos que multiplicam X, e a segunda coluna, os pesos que multiplicam Y. Além disso, a primeira linha de A deve ser sobre o Curso I e a segunda linha sobre o Curso II, para que o resultado saia na ordem correta. Trocar qualquer um desses elementos de lugar leva a uma das alternativas incorretas.
A Bússola:
- Síntese do raciocínio: Precisamos encontrar uma multiplicação de matrizes A . B que execute duas operações simultaneamente: (1*X + 2*Y) na primeira linha e (1*X + 3*Y) na segunda.
- Expectativa: A Matriz de Notas (B) deve ser a coluna [X; Y]. A Matriz de Pesos (A) deve ser organizada com os pesos do Curso I na primeira linha [1 2] e os pesos do Curso II na segunda linha [1 3]. A alternativa correta deve ser a multiplicação dessas duas matrizes.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Vamos agora testar cada alternativa contra a nossa “Expectativa”.
A)
[1 1] [X]
[2 3] . [Y]
- O “Raciocínio do Erro”: O aluno organiza os pesos em colunas por tipo de prova (Coluna 1 = Pesos de Objetivas, Coluna 2 = Pesos de Redação).
- O “Diagnóstico do Erro”: Organização Incorreta da Matriz de Pesos. A multiplicação resulta em [1*X + 1*Y; 2*X + 3*Y], que está errado.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B)
[1 2] [X]
[1 3] . [Y]
- Análise de Correspondência: Vamos multiplicar:
- Linha 1: (1 * X) + (2 * Y) = X + 2Y (Correto para o Curso I)
- Linha 2: (1 * X) + (3 * Y) = X + 3Y (Correto para o Curso II)
O resultado é a matriz [X + 2Y; X + 3Y], que corresponde exatamente à nossa expectativa. A organização está perfeita: as linhas da Matriz A correspondem aos cursos e as colunas aos pesos das respectivas provas.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
C)
[2 1] [X]
[3 1] . [Y]
- O “Raciocínio do Erro”: O aluno inverte a ordem dos pesos em cada linha.
- O “Diagnóstico do Erro”: Inversão de Pesos. A multiplicação resulta em [2*X + 1*Y; 3*X + 1*Y], que está errado.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D)
[2 3] [Y]
[1 1] . [X]
- O “Raciocínio do Erro”: Uma confusão total na montagem das duas matrizes, invertendo a ordem tanto dos pesos quanto das notas.
- O “Diagnóstico do Erro”: Inversão Total. O resultado é [2*Y + 3*X; 1*Y + 1*X], totalmente incorreto.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E)
[1 1] [Y]
[2 3] . [X]
- O “Raciocínio do Erro”: O aluno monta a matriz de pesos de forma incorreta (como na alternativa A) e ainda inverte a ordem das notas X e Y na matriz B.
- O “Diagnóstico do Erro”: Organização Incorreta de Ambas as Matrizes. O resultado é [1*Y + 1*X; 2*Y + 3*X], que está errado.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta correta é a alternativa B. Ela é a única que organiza os pesos e as notas na estrutura matricial correta para reproduzir os cálculos das notas finais conforme as regras do vestibular.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Pense na multiplicação de matrizes como um carimbo: a linha da Matriz A carimba a coluna da Matriz B, e a organização da sua matriz de pesos (o carimbo) tem que ter o desenho exato da nota que você quer produzir.
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro): Essa forma de organizar cálculos é a base de funcionamento das Redes Neurais, a arquitetura por trás de muitas Inteligências Artificiais. Uma rede neural processa informações multiplicando massivamente matrizes de “dados de entrada” (como as notas X e Y) por matrizes de “pesos” (que a rede aprende durante seu treinamento). Assim, o mesmo princípio matemático usado para calcular uma nota de vestibular é usado, em uma escala gigantesca, para que uma IA possa reconhecer uma imagem, traduzir um idioma ou até mesmo conversar com você.
