O síndico de um condomínio contratou uma empresa para verificar a qualidade da água dos cinco reservatórios que alimentam esses edifícios. A empresa utiliza um teste que fornece o valor de um parâmetro, expresso em pontos que variam de 0 a 100, que indicam a qualidade da água, sendo o valor 0 associado à péssima qualidade e 100 associado à ótima qualidade da água. Quando esse parâmetro assume um valor a partir de 50 pontos, a água é considerada de qualidade adequada.
Para os reservatórios I, II, III e IV, esse parâmetro assumiu, respectivamente, os valores 64, 53, 63 e 64 nesse tipo de teste. Já no reservatório V, esse parâmetro foi de 20 pontos, reprovando a qualidade da água. Com isso, a água desse reservatório será tratada de modo a aumentar sua qualidade.
O síndico pretende que o parâmetro de qualidade da água do reservatório V aumente o suficiente para que a média dos parâmetros de qualidade da água dos cinco reservatórios seja, no mínimo, igual a 60 pontos.
A quantidade mínima de pontos que o parâmetro da qualidade da água do reservatório V deve aumentar é
A) 36.
B) 40.
C) 41.
D) 43.
E) 44.
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática (Estatística Básica e Álgebra Elementar).
Tema/Objetivo Geral:
Cálculo de Média Aritmética para determinação de valor faltante e análise de variação numérica.
Nível da Questão: Médio.
- A questão exige que o candidato domine o conceito de média como uma equação de equilíbrio, e não apenas como uma soma seguida de divisão.
- O desafio reside no processo de duas etapas: primeiro encontrar o valor final necessário para o reservatório V e, depois, calcular o aumento (variação) em relação ao valor original de 20 pontos.
Gabarito: Alternativa A.
- Para que a média de 5 reservatórios seja 60, a soma total de pontos deve ser 300. Como os quatro primeiros já somam 244, o reservatório V deve atingir 56 pontos. Subtraindo os 20 pontos iniciais, o aumento necessário é de 36.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é descobrir quantos pontos de “melhoria” o reservatório V precisa receber para que, somado aos outros quatro, a nota média do grupo suba para 60 pontos.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense nisso como uma média escolar. Um grupo de 5 alunos precisa de média 60 para passar de ano. Quatro alunos já tiraram suas notas. O quinto aluno tirou 20 na primeira prova e agora tem a chance de “recuperar” essa nota. O verdadeiro desafio aqui é: quantos pontos a mais ele precisa tirar nessa recuperação para que a média do grupo não fique abaixo de 60?
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Determinar a Meta de Pontos: Calcular a soma total necessária para atingir a média desejada.
- Somar o Inventário Atual: Somar os pontos dos reservatórios que já têm valores fixos.
- Encontrar a Meta do Reservatório V: Subtrair o inventário atual da meta total.
- Calcular a Diferença: Subtrair o valor inicial do reservatório V do valor que ele precisa atingir.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para esta investigação, utilizaremos um Fluxograma de Raciocínio (em Texto) para visualizar a mecânica da média aritmética.
FLUXOGRAMA DA MÉDIA DE EQUILÍBRIO
- ENTRADA (A Média Desejada): Fixamos o valor 60.
- PROCESSAMENTO (O Total Acumulado): Multiplicamos a Média (60) pela Quantidade de Reservatórios (5).
- Resultado: Soma Total Necessária = 300.
- FILTRO (Valores Conhecidos): Somamos os valores de I, II, III e IV.
- Dados: 64 + 53 + 63 + 64 = 244.
- DEDUÇÃO (Valor Alvo do V): Subtraímos o total conhecido do total necessário (300 – 244).
- Resultado: Alvo de V = 56.
- SAÍDA (O Aumento Real): Comparamos o Alvo (56) com o Valor Inicial (20).
- Cálculo: 56 – 20 = 36.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos executar o plano de ataque seguindo a lógica do detetive matemático:
1. O Cálculo da Soma Total:
Se o síndico quer uma média de 60 pontos para 5 reservatórios, a soma de todos os parâmetros deve ser:
5 * 60 = 300.
Este é o nosso “pote de pontos” obrigatório.
2. O Levantamento dos Reservatórios “Bons”:
Somamos os reservatórios que já estão em conformidade:
64 + 53 + 63 + 64 = 244.
Note que, individualmente, a maioria está acima de 60, o que ajuda a “puxar” a média para cima.
3. A Nova Missão do Reservatório V:
Para chegar ao total de 300, o reservatório V (que agora vale apenas 20) deve passar a valer:
300 – 244 = 56.
Perceba que ele nem precisa chegar a 60, pois os outros reservatórios “emprestam” alguns pontos para a média dele.
4. A Resposta Final (O Aumento):
O reservatório V já tem 20 pontos. Para chegar em 56, ele precisa ganhar:
56 – 20 = 36.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum aqui é o aluno encontrar o valor 56 e achar que essa é a resposta final. O examinador foi astuto: ele não perguntou “qual o novo valor do reservatório V”, mas sim “quanto ele deve aumentar“. A armadilha sedutora é esquecer de subtrair os 20 pontos iniciais. Mantenha os olhos no comando da questão até o último segundo!
Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Para que a soma seja 300, e já tendo 244, o quinto elemento deve ser 56. O aumento é a distância entre 20 e 56.
- Expectativa: O valor procurado é o número 36.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 36.
- Análise de Correspondência: Este valor é o resultado exato da diferença entre a meta final de 56 e o valor inicial de 20. Encaixa-se perfeitamente na “Expectativa” da nossa Bússola.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
B) 40.
- A Narrativa do Erro: O aluno pode ter pensado que o reservatório V precisava chegar sozinho à média de 60 (60 – 20 = 40), ignorando que os outros reservatórios já contribuem com pontos excedentes para a média global.
- Diagnóstico do Erro: Reducionismo (Análise individual em vez de sistêmica).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 41.
- A Narrativa do Erro: Geralmente fruto de um erro de soma básica dos quatro reservatórios iniciais (calculando 239 em vez de 244).
- Diagnóstico do Erro: Erro de Cálculo Aritmético.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 43.
- A Narrativa do Erro: O aluno pode ter confundido algum dado da tabela ou se perdido na subtração final de 300 – 244.
- Diagnóstico do Erro: Erro de Processamento de Dados.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 44.
- A Narrativa do Erro: O aluno pode ter tentado igualar o reservatório V ao valor do reservatório I (64), subtraindo os 20 iniciais.
- Diagnóstico do Erro: Fuga ao Tema (Uso de critério arbitrário não solicitado).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A investigação termina com a Alternativa A. Aprendemos que a média é um jogo de compensação: reservatórios “fortes” ajudam a elevar a nota do “fraco”.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Média é um nivelamento; para o grupo chegar ao degrau 60, quem está no 20 precisa subir 36 degraus.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Esse conceito de “equilíbrio de média” é o que rege o Sistema de Créditos de Carbono. Empresas ou países que poluem pouco (reservatórios de alta qualidade) geram “créditos” que podem ser usados por aqueles que ainda estão “reprovados” (reservatório V). O objetivo final é que a média de emissões do planeta fique dentro de um limite seguro. A matemática do síndico do condomínio é a mesma que tenta equilibrar a ecologia global!
