Questão 141 caderno azul ENEM 2023 PPL

Após uma reforma, um clube decide comprar duchas para serem instaladas no vestiário. O tipo de ducha escolhida, segundo o fabricante, tem probabilidade igual a 1/10 de apresentar funcionamento irregular. O administrador do clube planeja adquirir uma certa quantidade dessas duchas, de forma que a probabilidade de que pelo menos uma das duchas adquiridas apresente funcionamento regular seja igual a, no mínimo, 99/100 .

A quantidade mínima de duchas que deverá ser adquirida para atender ao planejamento desse administrador é

A) 2.

B) 8.

C) 9.

D) 10.

E) 11.

Resolução em Texto

📚 Matérias Necessárias para a Solução

Probabilidade Complementar
Cálculo de Probabilidades de Eventos Independentes

🔢 Nível da Questão

🔹Médio 🚀 (exige compreensão do conceito de probabilidade complementar)

✅ Gabarito

Alternativa A – 2 duchas

📝 Resolução Passo a Passo

🔍 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo

📌 O enunciado nos informa que:

Cada ducha tem 1/10 de chance de ser irregular.
O administrador quer garantir que a chance de pelo menos uma ducha ser regular seja, no mínimo, 99/100 (99%).
Queremos determinar a menor quantidade de duchas necessária para atender essa exigência.

🎯 Objetivo:

Calcular a probabilidade de que pelo menos uma das duchas adquiridas seja regular.
Encontrar o menor número de duchas que garante essa probabilidade mínima de 99/100.

📖 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários

📌 Probabilidade Complementar: O Jeito Mais Simples!

Muitas vezes, calcular a chance de pelo menos um evento ocorrer pode ser difícil. Mas podemos usar uma estratégia mais fácil:

📢 Em vez de calcular a chance de ter pelo menos uma ducha boa, calculamos a chance de TODAS serem ruins.

Se essa chance for menor que 1%, então teremos 99% de certeza de ter pelo menos uma ducha boa!

🚀 Essa técnica simplifica muito o problema e evita cálculos desnecessários!simplifica muito o problema, evitando cálculos mais longos!nsidade se iguala à densidade do ar externo.

📌 Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto

Sabemos que:

A chance de uma ducha ser defeituosa é 1/10 (ou seja, 10%).
As duchas são independentes (o fato de uma ser defeituosa não afeta a outra).

Agora, vejamos a chance de todas as duchas compradas serem ruins.

Se o clube comprar 1 ducha, a chance dela ser defeituosa é:

1/10 (ou seja, 10%).

Se o clube comprar 2 duchas, a chance de ambas serem defeituosas é:

1/10 x 1/10 = 1/100 = 1%

Agora, isso significa que há 99% de chance de pelo menos uma ducha ser boa! 🎯

Ou seja, com 2 duchas, já garantimos a condição exigida pelo administrador!

🔢 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio

Agora, resolvemos a equação:

P(pelo menos uma regular)=1 − P(todas irregulares)

Queremos que essa probabilidade seja pelo menos 99/100:

1 – (1/10)^n > 99/100

Subtraímos 1 dos dois lados:

– (1/10)^n > – 1/100

Multiplicamos por −1 (inverte o sinal da desigualdade):

(1/10)^n < 1/100

Agora, encontramos o menor valor de nnn que satisfaça essa desigualdade:

🔹 Se n=1

(1/10)^1 < 1/10

1/10 não é menor que 1/100, então não serve.

🔹 Se n=2

(1/10)^2 < 1/100

Agora, a condição é atendida! 🎯

Portanto, o menor número de duchas que devemos comprar é 2.

💡 Resposta final: 2 duchas (Alternativa A).

📝 Passo 5: Análise das Alternativas

🔍 Vamos analisar cada opção:

✅ Alternativa A – 2 duchas.
- Correta! O cálculo mostrou que com 2 duchas já atingimos a probabilidade mínima de 99/100.
❌ Alternativa B – 8 duchas.
- Errado! Esse número é muito maior do que o necessário.
❌ Alternativa C – 9 duchas.
- Errado! O cálculo mostrou que com apenas 2 duchas já garantimos a condição exigida.
❌ Alternativa D – 10 duchas.
- Errado! Com 10 duchas, a probabilidade de pelo menos uma ser regular já seria praticamente 100%, muito acima do mínimo necessário.
❌ Alternativa E – 11 duchas.
- Errado! Como já vimos, 2 duchas são suficientes, então 11 é um exagero desnecessário.

🎯Passo 6: Conclusão e Justificativa Final

📌 Usamos a probabilidade complementar para determinar a chance de pelo menos uma ducha ser regular.
📌 Montamos a equação e resolvemos para nnn, obtendo n=2.
📌 A resposta correta é A: Precisamos comprar no mínimo 2 duchas.