Um rolo de papel higiênico tradicional é representado por um cilindro circular reto retirando-se outro cilindro circular reto interior, de mesmo eixo de simetria, mesma altura e diâmetro menor, conforme a figura.
Considere um rolo de papel higiênico com 12 cm de diâmetro externo, 4 cm de diâmetro interno e 10 cm de altura.
O volume, em centímetro cúbico, desse rolo é
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria Espacial (Sólidos de Revolução) e Cálculo de Volume de Cilindros.
Tema/Objetivo Geral: Calcular o volume de um cilindro vazado (coroa cilíndrica) através da operação de subtração de volumes.
Nível da Questão: Médio.
- O desafio aqui não é a fórmula em si, mas a percepção espacial de que o rolo é a composição de dois cilindros e, principalmente, o cuidado técnico para não cair na armadilha de usar o diâmetro no lugar do raio ou subtrair os raios antes de elevá-los ao quadrado.
Gabarito: C.
- A resposta está correta porque o volume efetivo de papel é a diferença entre o cilindro total que o rolo ocuparia se fosse maciço (360pi) e o cilindro de ar que forma o buraco central (40pi), totalizando 320pi centímetros cúbicos.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: Traduzindo para o bom português, a missão é: “Descobrir quanto de papel tem no rolo, tirando fora o espaço vazio do meio”. É uma conta de “o todo menos o buraco”.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense nisso como uma forma de bolo com furo no meio. Se você quer saber quanta massa de bolo cabe ali, você calcula o volume da forma inteira (como se não tivesse furo) e depois subtrai o volume daquele “tubo” central que fica vazio. O verdadeiro desafio aqui é não se perder nas dimensões de raio e diâmetro.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Identificar os raios (fatiar os diâmetros ao meio).
- Calcular o volume do cilindro “cheio” (o rolo completo).
- Calcular o volume do “vazio” (o buraco do papelão).
- Subtrair um do outro para chegar no volume real de papel.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para essa investigação, vamos usar um Dossiê Técnico de Geometria Espacial. Vamos dessecar as ferramentas necessárias com profundidade total:
Ficha Técnica 01: O Cilindro e sua Capacidade
Um cilindro é um sólido com duas bases circulares paralelas. O volume (V) é a medida de quanto “espaço” existe dentro dele.
A lógica é: Área da Base x Altura.
Como a base é um círculo, a área é pi vezes o raio ao quadrado (pi . r²).
Então, a fórmula mestra é: V = pi . r² . h.
Ficha Técnica 02: A Armadilha do Diâmetro
O examinador foi incisivo: ele deu o Diâmetro. Na matemática de volumes, o diâmetro é uma “pista falsa” se usada diretamente. Você precisa sempre do Raio, que é exatamente a metade do diâmetro.
- Diâmetro Externo = 12 cm -> Raio Externo (R) = 6 cm.
- Diâmetro Interno = 4 cm -> Raio Interno (r) = 2 cm.
Ficha Técnica 03: Subtração de Sólidos Coaxiais
Como os dois cilindros (o de papel e o de ar) compartilham o mesmo centro e a mesma altura (10 cm), podemos calcular os volumes separadamente e subtrair, ou usar a fórmula da coroa cilíndrica: V = pi . h . (R² – r²). Vamos pelo caminho passo a passo para garantir a precisão total.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos agora executar o plano de ataque e fazer esses números confessarem a resposta. Bora lá:
Investigação 01: O Volume do Cilindro Externo (O Todo)
Aqui fingimos que o rolo não tem buraco.
Raio (R) = 6 cm | Altura (h) = 10 cm
Volume Externo = pi . (6)² . 10
Volume Externo = pi . 36 . 10
Volume Externo = 360pi cm³.
Investigação 02: O Volume do Cilindro Interno (O Buraco)
Agora calculamos o volume do “nada” que está no meio.
Raio (r) = 2 cm | Altura (h) = 10 cm
Volume Interno = pi . (2)² . 10
Volume Interno = pi . 4 . 10
Volume Interno = 40pi cm³.
Investigação 03: O Veredito Final (O Papel)
Para achar o volume de papel, subtraímos o vazio do todo:
Volume Real = 360pi – 40pi
Volume Real = 320pi cm³.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum e brutal aqui é subtrair os raios antes de elevar ao quadrado. O aluno pensa: “Ora, 6 menos 2 é 4, então o volume é pi . 4² . 10 = 160pi“. ERRO FATAL! A área não diminui de forma linear, mas sim quadrática. Você deve elevar ao quadrado primeiro e subtrair depois. Outra armadilha é usar o 12 e o 4 direto na conta; isso te levaria a um resultado quatro vezes maior que o real. Fique esperto, Investigador!
A Bússola (O Perfil do Culpado)
Síntese do raciocínio: O volume total de um rolo maciço seria 360pi. O buraco retira 40pi desse total. A massa de papel que sobra é a diferença exata entre esses dois estados.
Expectativa: Procuramos a alternativa que indique 320pi.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 80pi.
A “Narrativa do Erro”: O aluno pode ter errado as potências ou tentado dividir o resultado final por algum fator arbitrário.
O “Diagnóstico do Erro”: Reducionismo. Valor muito abaixo do volume de um cilindro com raio 6 e altura 10.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 160pi.
A “Narrativa do Erro”: O aluno cai na armadilha de subtrair os raios (6 – 2 = 4) antes de elevar ao quadrado (4² = 16), resultando em 16 . 10 . pi.
O “Diagnóstico do Erro”: Confundir a Ordem das Operações. A geometria de áreas exige que a potenciação venha antes da subtração dos raios.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 320pi.
Análise de Correspondência: Encaixe perfeito! É o resultado da subtração correta entre o volume externo (360pi) e o interno (40pi).
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
D) 640pi.
A “Narrativa do Erro”: O aluno pode ter esquecido de dividir um dos diâmetros por 2 ou multiplicou o volume da base por 2 achando que precisava contar as duas tampas do cilindro no volume.
O “Diagnóstico do Erro”: Generalização Excessiva. Valor que ultrapassa até o volume do cilindro externo maciço.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 1 280pi.
A “Narrativa do Erro”: O aluno usou os diâmetros (12 e 4) diretamente na fórmula no lugar dos raios. Como as dimensões são dobradas, o resultado final fica quatro vezes maior que o correto (22=422=4).
O “Diagnóstico do Erro”: Confundir Causa com Consequência (Raio vs Diâmetro). É o erro mais clássico em questões de cilindros no ENEM.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta final é a C, fundamentada na aplicação rigorosa da fórmula de volume e na correta interpretação do raio.
Resumo-flash (A Imagem Mental): O rolo inteiro é 360, o buraco leva 40. O que você usa de papel é 320.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): Esse conceito de “cilindro vazado” ou “tubo” é o que sustenta toda a Engenharia de Drenagem e Hidráulica. Quando você vê uma manilha de concreto sendo instalada em uma rua, o engenheiro precisou calcular exatamente o volume de concreto da parede do tubo. Ele faz exatamente o que fizemos: Volume Externo menos Volume Interno. Se ele errar essa conta, ou o cano estoura por ser fino demais, ou ele desperdiça toneladas de dinheiro com concreto desnecessário. A matemática do papel higiênico é a mesma que evita enchentes na sua cidade!
