Uma fábrica utiliza latas cilíndricas como embalagem de seus produtos. Para embalar um novo produto, essa fábrica necessitará de latas cilíndricas com, no mínimo, o triplo da capacidade volumétrica das que estão em uso, e com o menor custo possível. O representante de uma empresa de embalagens disponibilizou para essa fábrica cinco opções de latas, relacionando as medidas das latas novas com as que estão em uso. São elas:
• I: multiplicar a medida do raio por 6 e manter a da altura;
• II: triplicar as medidas da área da base e da altura;
• III: triplicar a medida do raio e manter a da altura;
• IV: manter a medida do raio e triplicar a da altura;
• V: triplicar as medidas do raio e da altura.
O preço de cada lata é diretamente proporcional à sua capacidade volumétrica.
As exigências da fábrica são atendidas pelo tipo de lata apresentada na opção
A) I.
B) II.
C) III.
D) IV.
E) V.
✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Geometria Espacial (Volume do Cilindro) e Proporcionalidade.
Tema/Objetivo Geral:
Análise combinatória de medidas geométricas para otimização de custo e volume.
Nível da Questão:
Fácil/Médio.
Embora o cálculo seja simples, o aluno precisa conectar dois conceitos: o cálculo do volume e a restrição econômica (“menor custo possível”). O erro comum é olhar apenas para o volume e esquecer o custo.
Gabarito:
Alternativa D.
A opção IV é a única que triplica o volume exatamente. Todas as outras aumentam o volume (e consequentemente o custo) muito além do necessário.
Resolução Passo a Passo
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Nossa missão é encontrar a nova lata perfeita. Para ser a escolhida, ela precisa obedecer a duas regras sagradas simultaneamente:
- Regra da Capacidade: Ter volume pelo menos 3 vezes maior que a lata atual.
- Regra da Economia: Ter o menor custo possível (o texto diz que o preço é proporcional ao volume, ou seja, quanto maior a lata, mais cara ela é).
Simplificando (A Analogia Central):
Imagine que você está com muita fome e precisa comer pelo menos 3 fatias de pizza para ficar satisfeito, mas quer gastar o mínimo de dinheiro possível.
Se o cardápio oferece opções com 3 fatias, 9 fatias, 27 fatias ou 36 fatias (sendo que você paga por fatia), qual você escolhe?
Você escolhe a de 3 fatias. Pedir a de 36 fatias resolveria sua fome? Sim, mas você pagaria uma fortuna à toa.
Nosso Plano de Ataque:
- Vamos lembrar a fórmula do volume.
- Vamos calcular quantas vezes o volume aumenta em cada opção (o “Fator de Aumento”).
- Vamos escolher o menor número que seja igual ou maior que 3.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para resolver isso sem “bugar” a cabeça, precisamos apenas da fórmula do volume do cilindro e entender o peso de cada variável.
Ficha Técnica do Cilindro:
- Fórmula: Volume = pi * (raio)^2 * altura
- O Segredo do Raio: Note que o raio está elevado ao quadrado (^2). Isso significa que qualquer alteração no raio tem um impacto explosivo no volume. Se você dobra o raio, o volume quadruplica (2^2 = 4).
- O Segredo da Altura: A altura é linear. Se você dobra a altura, o volume apenas dobra.
Raciocínio Lógico (Fluxo):
Alteração nas Medidas -> Impacto no Volume -> Impacto no Preço.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos analisar o “Fator de Aumento” de cada opção proposta pela fábrica. Considere que o volume original é V.
- Opção I: Multiplicar raio por 6 e manter altura.
- Conta: 6 ao quadrado = 36.
- Resultado: O volume fica 36 vezes maior. (36V).
- Opção II: Triplicar a área da base e triplicar altura.
- Conta: A área da base já contém o raio. Se triplicamos a base (3x) e triplicamos a altura (3x)…
- Resultado: 3 * 3 = O volume fica 9 vezes maior. (9V).
- Opção III: Triplicar raio e manter altura.
- Conta: 3 ao quadrado = 9.
- Resultado: O volume fica 9 vezes maior. (9V).
- Opção IV: Manter raio e triplicar altura.
- Conta: O raio não muda (1). A altura triplica (3).
- Resultado: 1 * 3 = O volume fica 3 vezes maior. (3V).
- Opção V: Triplicar raio e triplicar altura.
- Conta: (3 ao quadrado) * 3 = 9 * 3.
- Resultado: O volume fica 27 vezes maior. (27V).
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
Muitos alunos marcam a opção I ou V pensando: “A questão pediu pelo menos o triplo, então quanto maior, melhor!”. ERRADO. O texto diz “menor custo possível”. Se o volume aumenta 36 vezes, o preço aumenta 36 vezes. A fábrica quer pagar o mínimo para atingir a meta.
A Bússola (Síntese):
Procuramos o número que seja maior ou igual a 3, mas o mais próximo possível de 3.
Os candidatos são: 36, 9, 9, 3, 27.
O vencedor é o 3.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
- A) I. (Aumenta 36x).
- Diagnóstico do Erro: Exagero Extremo. O raio elevado ao quadrado (6^2) gera um volume imenso. Seria a lata mais cara de todas.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.
- B) II. (Aumenta 9x).
- Diagnóstico do Erro: Custo Desnecessário. Embora 9 seja maior que 3, custaria o triplo do preço da opção correta.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.
- C) III. (Aumenta 9x).
- Diagnóstico do Erro: Erro de Potenciação. O aluno esquece que o raio é ao quadrado. Triplicar o raio aumenta o volume em 9 vezes, o que encarece o produto.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.
- D) IV. (Aumenta 3x).
- Análise: Ao triplicar apenas a altura (medida linear), o volume triplica exatamente. Isso atende ao requisito “pelo menos o triplo” e, como é o menor aumento entre as opções, garante o “menor custo possível”.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
- E) V. (Aumenta 27x).
- Diagnóstico do Erro: Superdimensionamento. Alterar raio e altura simultaneamente gera um efeito multiplicativo explosivo no volume e no preço.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
Para economizar em geometria espacial, lembre-se: mexer na altura é suave (linear), mexer no raio é explosivo (exponencial). A Opção IV é a única que entrega a meta exata sem desperdício financeiro.
Resumo-flash:
“Quem paga a conta é o volume: triplicar a altura triplica a conta; triplicar o raio multiplica a conta por nove.”
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Isso se aplica à Logística de Transporte. Se você dobra o tamanho da caixa de um produto (raio/lado), você não está apenas dobrando o espaço que ela ocupa no caminhão, você está quadruplicando (ou até octuplicando, dependendo da forma), o que encarece absurdamente o frete. Engenheiros de embalagem ganham a vida otimizando essas medidas!
