Um tanque de armazenamento de líquidos tem o formato de uma pirâmide reta de base quadrada, cujo plano que contém essa base é paralelo a um solo plano e horizontal. Esse tanque tem capacidade de 240 litros e altura de 2 metros. Inicialmente vazio, nele é despejado um líquido à vazão constante de 0,015 m³/s.
Sabe-se que 1 L = 1 dm³ = 0,001 m³.
Qual expressão fornece a altura, em metro, da coluna de líquido dentro desse tanque em função do tempo t, em segundo?
✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Geometria Espacial (Semelhança de sólidos) e Função (Modelagem de situações-problema).
Tema/Objetivo Geral:
Modelagem matemática de um enchimento de reservatório cônico/piramidal, relacionando volume, altura e tempo através da semelhança de sólidos.
Nível da Questão:
Médio/Difícil.
A questão exige que o aluno combine três conceitos: vazão constante (física), geometria espacial (volume) e a propriedade crucial da semelhança de sólidos (a razão entre volumes é o cubo da razão entre alturas). É essa última parte que costuma derrubar a maioria dos candidatos.
Gabarito:
Alternativa A.
A expressão derivada da relação de semelhança e da vazão linear resulta na raiz cúbica da metade do tempo.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
A questão quer uma fórmula. Uma “máquina de calcular” onde você insere o tempo (em segundos) e ela cospe a altura (em metros) do líquido dentro da pirâmide invertida naquele instante.
Simplificação Radical (A Analogia Central): 🍦
Imagine uma casquinha de sorvete sendo enchida com chocolate derretido. No começo (fundo da casquinha), um pouquinho de chocolate já faz a altura subir rápido porque é estreito. Conforme sobe (fica mais largo), você precisa de muito mais chocolate para subir a mesma altura.
O volume de chocolate depende da torneira aberta (vazão x tempo).
A altura do chocolate depende do formato da casquinha.
Nossa missão é conectar essas duas coisas.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Unificar as unidades (litros para ).
- Estabelecer a relação entre o Volume do Líquido e a Altura do Líquido usando Semelhança de Triângulos/Sólidos (regra do cubo).
- Substituir o volume pela fórmula da vazão (Volume = Vazão x Tempo).
- Isolar o “” (altura) para encontrar a resposta.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Vamos organizar as fórmulas que usaremos, sem códigos complicados.
1. Conversão de Unidades:
O enunciado diz que 1 Litro = 0,001 metro cúbico.
Isso é essencial porque a vazão está em metros cúbicos e a capacidade em litros.
2. A Lei da Semelhança (Sólidos):
Em pirâmides ou cones, a relação entre o volume pequeno (do líquido) e o volume total (do tanque) é igual à razão entre as alturas elevada ao cubo.
Fórmula Mental: (Volume Líquido / Volume Total) = (Altura Líquido / Altura Total)³
(O Princípio do Cubo): Imagine uma pirâmide pequena crescendo dentro da grande. Se a altura dobra, o volume multiplica por 8 (2 ao cubo). Se a altura triplica, o volume multiplica por 27 (3 ao cubo).
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos calcular passo a passo com números limpos.
Etapa 1: Dados do Problema
- Volume Total (V total) = 240 litros = 0,240 m³.
- Altura Total (H total) = 2 metros.
- Vazão da torneira = 0,015 m³/s.
Etapa 2: A Relação Geométrica (Volume vs Altura)
Usando a ferramenta de semelhança:
Volume Líquido / 0,240 = (h / 2)³
Vamos resolver a potência do lado direito: (h/2)³ é igual a h³ / 8 (porque 2 x 2 x 2 = 8).
Fica assim:
Volume Líquido / 0,240 = h³ / 8
Agora, isolamos o Volume Líquido. Passamos o 0,240 multiplicando:
Volume Líquido = 0,240 x (h³ / 8)
Dividindo 0,240 por 8, temos: 0,030.
Equação Geométrica: Volume Líquido = 0,030 x h³
Etapa 3: A Relação Temporal (Volume vs Tempo)
O volume também é igual à velocidade da torneira vezes o tempo.
Equação da Torneira: Volume Líquido = 0,015 x t
Etapa 4: Igualando as Equações
Como o “Volume Líquido” é o mesmo nas duas, podemos igualar:
0,030 x h³ = 0,015 x t
Nosso objetivo é descobrir o h. Vamos passar o 0,030 dividindo para o outro lado:
h³ = (0,015 x t) / 0,030
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
Cuidado com essa divisão de decimais.
0,015 dividido por 0,030.
Perceba que 15 é exatamente a metade de 30.
Logo, o resultado dessa divisão é 0,5 ou 1/2.
A equação fica:
h³ = (1/2) x t
ou
h³ = t / 2
Para finalizar, tiramos o expoente 3 do h (passa para o outro lado como Raiz Cúbica):
h = Raiz Cúbica de (t / 2)
A Bússola (Síntese do raciocínio):
Procuramos nas alternativas a expressão visual: Raiz cúbica cobrindo a fração t/2 .
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
- A) Raiz cúbica de (t / 2).
- Análise: Esta é a tradução exata do nosso cálculo final. A raiz cúbica vem da geometria (volume x altura) e o fator 1/2 vem da divisão das constantes (0,015 / 0,030).
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
- B) (Raiz cúbica de t) / 2.
- Diagnóstico do Erro: Erro de Escopo da Raiz. O aluno resolveu h³ = t/8 (talvez errando a conta anterior) e tirou a raiz cúbica de 8, jogando o 2 para fora da raiz.
- C) (1/10) vezes Raiz cúbica de (t / 2).
- Diagnóstico do Erro: Fantasma Decimal. O aluno pode ter se confundido na divisão de 0,015 por 0,030 e achado que precisava ajustar as casas decimais multiplicando por 1/10.
- D) (1/10) vezes Raiz cúbica de (t / 8).
- Diagnóstico do Erro: Confusão Total. Mistura o erro decimal com o erro de não simplificar a fração geométrica (mantendo o 8 do 2³).
- E) (3/10) vezes Raiz cúbica de (t / 2).
- Diagnóstico do Erro: Erro Aritmético. O aluno inventou um fator 3/10, possivelmente tentando usar a fórmula do volume do cone (1/3) de forma errada no meio da álgebra.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
Em tanques cônicos ou piramidais, a altura nunca sobe em linha reta; ela obedece à raiz cúbica do tempo, subindo rápido no início e lento no final.
Resumo-flash (A Imagem Mental): 🧠
“Volume cresce ao cubo da altura; Altura cresce à raiz cúbica do volume.”
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Isso é crucial na Indústria Química. Ao encher reatores cônicos com substâncias perigosas, o operador não pode confiar no relógio de forma linear. Se ele achar que em “metade do tempo” o tanque estará na “metade da altura”, o tanque transbordará muito antes, pois a relação não é direta!
