Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha.
Disponível em: www.infowester.com. Acesso em: 14 dez. 2012.
O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por:
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução
- Princípio Fundamental da Contagem
- Arranjos e Combinações
- Fatorial e Permutação com Elementos Repetidos
🔢 Nível da Questão
🔹Médio para Difícil
✅ Gabarito
📝 Resolução Passo a Passo
🔍 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
A questão fala sobre a criação de uma senha de 4 caracteres, com regras específicas:
✅ 2 caracteres devem ser números (0 a 9)
✅ 2 caracteres devem ser letras (maiúsculas ou minúsculas, ou seja, 52 possibilidades para cada)
✅ Os caracteres podem aparecer em qualquer ordem
O problema pede o número total de senhas possíveis.
⚠ Pegadinha sutil: Como os caracteres podem aparecer em qualquer ordem, não podemos apenas multiplicar as possibilidades de números e letras. Precisamos contabilizar todas as maneiras possíveis de organizar esses caracteres dentro da senha.
🔎 Palavra-chave oculta no enunciado → A palavra “qualquer posição” significa que a ordem dos números e letras pode variar. Isso exige o uso de permutação com elementos repetidos, que veremos mais à frente.
📖 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
🎲 Princípio Fundamental da Contagem
Se temos várias escolhas independentes, o número total de possibilidades é dado pelo produto das possibilidades de cada escolha.
Exemplo:
Se posso escolher uma camisa de 5 cores e uma calça de 3 cores, tenho 5 × 3 = 15 combinações possíveis de roupas.
🔢 Cálculo das Possibilidades de Cada Caractere
📌 Números → Cada número pode ser de 0 a 9 (10 opções). Como temos 2 números, e eles podem se repetir, o total de combinações possíveis de números é:
- 10×10=10^2
📌 Letras → O alfabeto tem 26 letras, mas como maiúsculas e minúsculas são consideradas diferentes, temos 52 possibilidades para cada letra. Como há 2 letras na senha, e elas podem se repetir, o total de combinações possíveis de letras é:
- 52×52=52^2
🔄 Distribuição dos Caracteres Dentro da Senha (Permutação com Repetição)
Agora, precisamos distribuir os 2 números e 2 letras dentro dos 4 espaços da senha.
Imagine que temos 4 espaços vazios para preencher:
- _ _ _ _
E queremos distribuir 2 algarismos (🔢) e 2 letras (🔡) entre esses espaços. Como estamos lidando com dois grupos iguais (números e letras), devemos calcular de quantas formas podemos organizar esses elementos diferentes.
O número de formas de organizar 4 elementos onde temos repetições (2 números iguais e 2 letras iguais) é dado pela permutação com elementos repetidos:
- 4!/2!⋅2!
Essa fórmula vem do fato de que, se todos os 4 caracteres fossem diferentes, teríamos 4! maneiras de organizá-los. Mas como temos dois caracteres repetidos (2 números e 2 letras), dividimos pelo fatorial das repetições para não contar ordens idênticas como diferentes.
🔎 Exemplo Intuitivo:
Se tivéssemos os caracteres A, A, B, B, contaríamos as sequências como:
- AABB
- ABAB
- ABBA
- BAAB
- BABA
- BBAA
Essas 6 formas possíveis de distribuir os caracteres são justamente o resultado da fórmula:
- 4!/2!⋅2! = 24/2 x 2 = 6
Isso significa que, além das combinações individuais de números e letras, devemos multiplicar por 6, que representa o número de maneiras de distribuir esses caracteres na senha.
📌 Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
Agora que entendemos os conceitos, traduzimos o problema para expressões matemáticas.
📌 Resumo das informações extraídas do enunciado:
1️⃣ Escolha dos números → 10^2
2️⃣ Escolha das letras → 52^2
3️⃣ Distribuição na senha → 4!/2!⋅2
Logo, o número total de senhas possíveis é:
- 10^2 . 52^2 . 4!/2!⋅2
✅ Passo 4: Desenvolvimento de Raciocínio
Agora, efetuamos os cálculos de cada parte:
📌 Cálculo das possibilidades individuais
- 10^2=100
- 52^2=2704
📌 Cálculo da permutação com repetição
- 4!= 4×3×2×1 =24
- 2!= 2×1= 2
- 4!/2!⋅2 = 24/2 x 2 = 24/4 = 6
📌 Multiplicação Final
- 100×2704×6=(número final não necessário para a questão, pois queremos a expressão)
- Portanto, a alternativa correta é:
- 10^2 . 52^2 . 4!/2!⋅2
✨ Passo 5: Análise das Alternativas
✅ Alternativa E) 10^2 . 52^2 . 4!/2!⋅2 → Correta!
❌ Alternativa A) 10^2 . 26^2 → Errada!
- Considera apenas 26 letras, ignorando maiúsculas e minúsculas.
❌ Alternativa B) 10^2 . 52^2 → Errada!
- Não leva em conta que os caracteres podem aparecer em qualquer ordem, esquecendo a permutação.
❌ Alternativa C) 10^2 . 52^2. 4!/2! → Errada!
- Considera permutações erradas, contando todas as 4 posições sem considerar as repetições.
❌ Alternativa D) 10^2 . 26^2 . 4!/2!⋅2 → Errada!
- Usa 26 letras ao invés de 52.
🎯Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
🎯 Resumo do Raciocínio:
1️⃣ Calculamos as escolhas individuais de números e letras.
2️⃣ Consideramos todas as formas de distribuir esses caracteres na senha.
3️⃣ Multiplicamos as possibilidades e aplicamos permutação com repetição.
✅ Alternativa correta: E) 10^2 . 52^2 . 4!/2!⋅2
