Um túnel deve ser lacrado com uma tampa de concreto. A seção transversal do túnel e a tampa de concreto têm contornos de um arco de parábola e mesmas dimensões. Para determinar o custo da obra, um engenheiro deve calcular a área sob o arco parabólico em questão. Usando o eixo horizontal no nível do chão e o eixo de simetria da parábola como eixo vertical, obteve a seguinte equação para a parábola: y = 9 – x2 , sendo x e y medidos em metros.
Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é igual a 2/3 da área do retângulo cujas dimensões são, respectivamente, iguais à base e à altura da entrada do túnel.
Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em metro quadrado?
A) 18
B) 20
C) 36
D) 45
E) 54
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução
- Funções Quadráticas (parábolas e seus elementos)
- Área de Figuras Planas (cálculo da área sob a parábola)
- Interpretação Gráfica
🔢 Nível da Questão
🔹Médio
✅ Gabarito
Alternativa C) 36
📝 Resolução Passo a Passo
🔍 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
A questão descreve um túnel cuja entrada tem o formato de um arco de parábola e que precisa ser lacrado com uma tampa de concreto.
A equação da parábola é fornecida:
- y=9−x^2
O problema nos pede para calcular a área da parte frontal da tampa de concreto, ou seja, a área sob a parábola.
⚠ Informação-chave: A área de uma parábola desse tipo é sempre 2/3 da área do retângulo que a contém, onde:
- A base do retângulo é a largura da entrada do túnel.
- A altura do retângulo é o valor máximo de y, ou seja, a altura da parábola.
Nosso objetivo é determinar essa área.
📖 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
1️⃣ Parábolas e sua Forma Padrão
A equação geral de uma função quadrática é:
- y=ax^2+bx+c
Neste caso, temos y= 9 – x^2, que representa uma parábola voltada para baixo porque o coeficiente de x^2 é negativo.
2️⃣ Elementos da Parábola
- Raízes: Os pontos onde a parábola toca o eixo xxx.
- Vértice: O ponto mais alto (máximo) da parábola.
3️⃣ Fórmula da Área da Parábola
Quando temos um arco parabólico, a área abaixo da parábola pode ser determinada com a fórmula:
- A parábola=2/3 x A retângulo
; onde A retângulo é a área do retângulo imaginário que contém a parábola.
📌 Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
Agora, vamos interpretar a estrutura gráfica do problema.
📌 Pontos importantes da parábola
A equação da parábola é y= 9 – x^2. Para encontrar os pontos onde a parábola intercepta o eixo x, resolvemos:
- 9 – x^2 = 0
- x^2 = 9
- x=±3
Isso significa que a parábola intercepta o eixo xxx nos pontos (-3,0) e (3,0).
📌 Dimensões do retângulo de referência
- Base do retângulo: A largura da entrada do túnel é a distância entre x=−3 e x=3, ou seja:
- 3−(−3)=6 metros
- Altura do retângulo: O valor máximo de y ocorre no vértice da parábola (0,9), então a altura é 9 metros.
📉 Esboço gráfico do problema:
🔹 A parábola azul representa a equação y=9 – x^2
🔹 As raízes (-3,0) e (3,0) são os pontos onde a parábola toca o eixo xxx, ou seja, a largura do túnel.
🔹 O vértice (0,9) representa a altura máxima do arco.
🔹 O retângulo roxo pontilhado é a referência para calcular a área.
📌 Agora que entendemos a estrutura, vamos aos cálculos!
✅ Passo 4: Desenvolvimento de Raciocínio
Agora aplicamos os cálculos de área.
📌 Área do retângulo que contém a parábola
- A retângulo=base×altura=6×9=54 m^2
📌 Área da parte sob a parábola
- A área sob a parábola é 2/3 da área do retângulo:
- A parábola=2/3 x 54
- A=36 m^2
Portanto, a área da parte frontal da tampa de concreto é 36 metros quadrados.
✨ Passo 5: Análise das Alternativas
✅ Alternativa C) 36 → Correta!
Esse é o valor correto da área obtido pelos cálculos.
❌ Alternativa A) 18 → Errada!
Esse valor pode ter vindo de um erro de cálculo, como usar metade da área correta em vez de 2/3
❌ Alternativa B) 20 → Errada!
Não corresponde a nenhum valor correto, erro provável em arredondamento ou aplicação incorreta da fórmula.
❌ Alternativa D) 45 → Errada!
Esse valor pode ter surgido de um erro ao calcular 2/3 da área do retângulo, talvez invertendo a fração.
❌ Alternativa E) 54 → Errada!
Esse é o valor do retângulo inteiro, sem aplicar o fator 2/3.
🎯Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Essa questão abordou funções quadráticas e cálculo de área.
🎯 Resumo do raciocínio:
1️⃣ Identificamos os pontos-chave da parábola (raízes e vértice).
2️⃣ Entendemos que a área sob a parábola é 2/3 da área do retângulo de referência.
3️⃣ Efetuamos os cálculos corretamente e encontramos 36 metros quadrados.
✅ Alternativa correta: C) 36 metros quadrados.
