A Igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica modernista de Oscar Niemeyer, localizada na Lagoa da Pampulha, em Belo Horizonte, possui abóbadas parabólicas. A seta na Figura 1 ilustra uma das abóbadas na entrada principal da capela. A Figura 2 fornece uma vista frontal desta abóbada, com medidas hipotéticas para simplificar os cálculos.
Qual a medida da altura H, em metro, indicada na Figura 2?
A) 16/3
B) 31/5
C) 25/4
D) 25/3
E) 75/2
Resolução em texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria Analítica, Função Quadrática.
📊 Nível da Questão: Médio.
✅ Gabarito: Alternativa D.
🎯 Tema/Objetivo Geral: Determinar a altura máxima da parábola que modela a abóbada da igreja, utilizando o modelo da função quadrática.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Comando da Questão:
A Igreja de São Francisco de Assis, projetada por Oscar Niemeyer, possui abóbadas parabólicas. A figura fornecida representa uma dessas abóbadas, simplificando os cálculos.
Explicação do Pedido:
O problema pede para determinar a altura H da abóbada parabólica, que pode ser modelada por uma função quadrática.
Palavras-chave:
- Parábola: Representa a abóbada.
- Função quadrática: Equação da parábola na forma y = ax² + bx + c.
- Pontos conhecidos: O problema fornece três pontos no plano cartesiano.
📌 Objetivo da Questão:
Utilizar os pontos fornecidos para montar um sistema de equações e encontrar H, a altura máxima da abóbada.
➡️ Agora que o objetivo foi identificado, vamos abordar os conceitos necessários.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Função Quadrática:
Uma parábola pode ser modelada pela equação:
✔ y = ax² + bx + c, onde:
- a determina a concavidade.
- b define a inclinação do eixo da parábola.
- c representa o valor da função para x = 0, ou seja, a altura H.
📌 Condição do Problema:
- Os pontos da base são (-5,0) e (5,0), o que indica que a abóbada toca o solo nesses valores de x.
- O ponto (4,3) pertence à parábola.
- Como a base está centralizada, o vértice está em x = 0.
➡️ Com os conceitos explicados, vamos interpretar os dados fornecidos no problema.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 O enunciado descreve a estrutura da abóbada parabólica.
- A base da abóbada é simétrica e tem pontos conhecidos.
- O formato parabólico pode ser modelado por y = ax² + bx + c.
- Devemos usar os pontos fornecidos para encontrar H.
📌 Modelagem Matemática da Parábola:
- Como (-5,0) e (5,0) são raízes, sabemos que:
✔ 0 = 25a – 5b + H
✔ 0 = 25a + 5b + H - O ponto adicional (4,3) fornece uma terceira equação:
✔ 3 = 16a + 4b + H
➡️ Agora, vamos resolver o sistema de equações.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Montando o Sistema de Equações:
Das raízes, obtemos duas equações:
✔ 25a – 5b + H = 0
✔ 25a + 5b + H = 0
📌 Somando as duas equações:
✔ (25a – 5b + H) + (25a + 5b + H) = 0
✔ 50a + 2H = 0
✔ H = -25a
📌 Substituindo na terceira equação:
✔ 3 = 16a + 4b + H
✔ Substituindo H = -25a:
✔ 3 = 16a + 4b – 25a
✔ 3 = -9a + 4b
📌 Resolvendo para b:
- Da equação 25a – 5b + H = 0, substituímos H = -25a:
✔ 25a – 5b – 25a = 0
✔ -5b = 0
✔ b = 0
📌 Encontrando a altura H:
✔ 3 = -9a + 4(0)
✔ 3 = -9a
✔ a = -1/3
📌 Calculando H:
✔ H = -25(-1/3)
✔ H = 25/3
➡️ Agora, vamos analisar as alternativas para confirmar a resposta correta.
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 Revisando as alternativas:
- A) 16/3 ❌ (Valor incorreto.)
- B) 31/5 ❌ (Valor incorreto.)
- C) 25/4 ❌ (Valor incorreto.)
- D) 25/3 ✅ (Corresponde ao valor encontrado.)
- E) 75/2 ❌ (Valor incorreto.)
✅ Alternativa Correta: D) 25/3.
➡️ Finalmente, vamos concluir a resolução com um resumo e a justificativa final.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
- Modelamos a parábola com a equação y = ax² + bx + c.
- Utilizamos os pontos (-5,0), (5,0) e (4,3) para formar um sistema.
- Descobrimos que b = 0 e resolvemos para a.
- Calculamos H = 25/3.
📌 Reafirmação da Alternativa Correta:
O valor correto da altura da abóbada é H = 25/3, correspondente à alternativa D.
🔍 Resumo Final:
Utilizando Geometria Analítica, determinamos que a altura máxima da abóbada é 25/3 metros, garantindo que o modelo parabólico seja coerente com os pontos fornecidos.
✅ Resposta Final: Alternativa D.
