Com o avanço em ciência da computação, estamos próximos do momento em que o número de transistores no
processador de um computador pessoal será da mesma ordem de grandeza que o número de neurônios em um
cérebro humano, que é da ordem de 100 bilhões. Uma das grandezas determinantes para o desempenho de um processador é a densidade de transistores, que é o número de transistores por centímetro quadrado.
Em 1986, uma empresa fabricava um processador contendo 100 000 transistores distribuídos em 0,25 cm2
de área. Desde então, o número de transistores por centímetro quadrado que se pode colocar em um
processador dobra a cada dois anos (Lei de Moore).
Disponível em: www.pocket-lint.com. Acesso em: 1 dez. 2017 (adaptado).
Considere 0,30 como aproximação para log102. Em que ano a empresa atingiu ou atingirá a densidade de
100 bilhões de transistores?
A) 1999
B) 2002
C) 2022
D) 2026
E) 2146
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Função Exponencial, Logaritmos (Propriedades Operatórias), Notação Científica.
Tema/Objetivo Geral
Modelagem matemática de crescimento exponencial (Lei de Moore).
Nível da Questão: Difícil.
- A questão exige uma longa cadeia de raciocínio: cálculo de densidade inicial, montagem da equação exponencial, manipulação algébrica para isolar a potência e, finalmente, uso de logaritmos para encontrar o tempo. Um erro em qualquer etapa compromete o resultado.
Gabarito: Alternativa C.
- O cálculo aponta que serão necessários 36 anos para atingir a meta, levando-nos ao ano de 2022.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
Precisamos descobrir uma data futura. A “Lei de Moore” dita um ritmo de crescimento acelerado (dobra a cada 2 anos). Temos o ponto de partida (1986) e a meta final (densidade de 100 bilhões). A missão é calcular o intervalo de tempo (t) necessário para ir do ponto A ao ponto B e somar esse tempo ao ano inicial.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine uma população de coelhos que vive em uma caixa. A caixa tem um tamanho fixo. O problema não quer saber quantos coelhos existem, mas sim o quão “apertados” eles estão (coelhos por metro quadrado). Sabemos a lotação inicial e a lotação final. Sabemos a velocidade de reprodução. Precisamos olhar para o relógio e dizer quanto tempo passou.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Calcular a Densidade Inicial: Descobrir quantos transistores cabiam em 1 cm² em 1986.
- Montar a Máquina do Tempo: Criar a equação exponencial que descreve o crescimento.
- Aplicar a Ferramenta de Desbloqueio: Usar Logaritmos para descobrir o valor do tempo (t) que está preso no expoente.
- Finalizar o Calendário: Somar os anos encontrados a 1986.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Conceito Principal:
Para resolver problemas de crescimento onde a variável está no expoente (tempo), precisamos de ferramentas específicas. Organizamos tudo nesta tabela técnica:
TABELA TÁTICA: O KIT DE SOBREVIVÊNCIA EXPONENCIAL
| FERRAMENTA | DEFINIÇÃO PRÁTICA | COMO USAR NESTA QUESTÃO |
| Conceito de Densidade | É a razão entre a Quantidade e a Área. Mede o “aperto”. | D = N / Área. Não use apenas o número de transistores; divida pela área primeiro! |
| Equação de Crescimento | Fórmula que projeta o futuro baseada em dobras sucessivas. | D(t) = Inicial * 2^(t/p). Onde “t” é o tempo e “p” é o período da dobra (2 anos). |
| Logaritmo (A Chave Mestra) | Operação que “baixa” o expoente para o chão, permitindo isolar o “t”. | Quando chegar em 2^x = Y, aplique log dos dois lados. |
| Propriedade do Tombo | Regra vital dos logaritmos: log(a^b) vira b * log(a). | O expoente ( t/2 ) vai “cair” para frente, multiplicando o log de 2. |
| Log da Divisão | log(A/B) = log(A) – log(B). | Útil para simplificar frações como 10^6 / 4. |
Dica de Ouro:
Sempre que o problema disser “dobra a cada X anos”, o expoente da base 2 será sempre (tempo / X).
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos executar o plano rigorosamente.
1. O Diagnóstico Inicial (1986):
Número de transistores: 100.000 (ou 10^5).
Área: 0,25 cm² (ou 1/4 cm²).
Densidade Inicial (D0):
D0 = 10^5 / 0,25
Dividir por 0,25 é o mesmo que multiplicar por 4.
D0 = 4 * 10^5 transistores/cm².
2. A Meta Final:
Queremos 100 bilhões.
1 bilhão = 10^9.
100 bilhões = 100 * 10^9 = 10^11 transistores/cm².
3. Montando a Equação:
Densidade Final = Densidade Inicial * 2^( t/2 )
10^11 = (4 * 10^5) * 2^( t/2 )
Vamos isolar a parte com o “t”. Passamos o (4 * 10^5) dividindo.
2^( t/2 ) = 10^11 / (4 * 10^5)
2^( t/2 ) = (10^11 / 10^5) / 4
2^( t/2 ) = 10^6 / 4
2^( t/2 ) = 250.000
4. O Momento do Logaritmo (A Mágica):
Temos uma incógnita no expoente. Aplicamos log (base 10) em ambos os lados.
log( 2^( t/2 ) ) = log( 250.000 )
Lado Esquerdo (Regra do Tombo):
( t/2 ) * log(2)
Como log(2) é 0,30:
Lado Esquerdo = 0,15 * t
Lado Direito (Decomposição):
Precisamos calcular log(250.000).
Sabemos que 250.000 = 1.000.000 / 4 = 10^6 / 2^2.
log(10^6 / 2^2) = log(10^6) – log(2^2)
log(10^6) = 6.
log(2^2) = 2 * log(2) = 2 * 0,30 = 0,60.
Logo: 6 – 0,60 = 5,4.
5. O Cálculo Final:
Igualando os lados:
0,15 * t = 5,4
t = 5,4 / 0,15
Para facilitar, multiplique por 100 em cima e embaixo:
t = 540 / 15
t = 36 anos.
6. A Resposta:
Ano Inicial (1986) + 36 anos = 2022.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
O erro mais comum aqui é esquecer de calcular a Densidade. Muitos alunos usam o número cru “100.000” como valor inicial e esquecem de dividir pela área (0,25). Isso altera o valor inicial e erra o resultado final. A lei de Moore fala sobre densidade (transistores por área), não apenas quantidade absoluta.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
Síntese do raciocínio: Calculamos a densidade inicial, aplicamos a fórmula de crescimento, usamos logaritmos para linearizar o expoente e resolvemos a equação de 1º grau resultante.
Expectativa: O ano deve ser 2022.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
(A) 1999.
O Diagnóstico do Erro: Valor muito baixo. O aluno pode ter errado a conta do logaritmo ou esquecido o fator ” t/2 “, usando apenas “t” no expoente, o que aceleraria falsamente o processo.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(B) 2002.
O Diagnóstico do Erro: Possível erro de cálculo na divisão final (5,4 / 0,30 em vez de 0,15) ou confusão na manipulação das potências de 10.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(C) 2022.
Análise de Correspondência: Perfeito. Representa exatamente o intervalo de 36 anos somado a 1986, derivado do cálculo logarítmico correto.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
(D) 2026.
O Diagnóstico do Erro: O candidato pode ter errado o cálculo da densidade inicial (não dividindo por 0,25), o que alteraria a base do cálculo logarítmico resultando em um tempo ligeiramente maior.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(E) 2146.
O Diagnóstico do Erro: Um valor absurdamente alto. Geralmente ocorre quando o aluno não usa logaritmos e tenta fazer uma regra de três simples (crescimento linear), o que falha miseravelmente em situações de crescimento exponencial.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
Para encontrar o tempo em crescimentos exponenciais, o Logaritmo é a ferramenta que “resgata” a variável presa no expoente, transformando multiplicação em soma e potência em multiplicação.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“O Logaritmo é a escada que permite descer o expoente para o térreo da equação.”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este problema é idêntico ao cálculo de Datação por Carbono-14 usado por arqueólogos e paleontólogos. A quantidade de Carbono-14 cai pela metade (meia-vida) a cada 5.730 anos. Para saber a idade de um fóssil, medimos a quantidade final, comparamos com a inicial e usamos logaritmos para achar o tempo, exatamente como fizemos com os chips de computador.
