A prefeitura de um pequeno município do interior decide colocar postes para iluminação ao longo de uma estrada retilínea, que inicia em uma praça central e termina numa fazenda na zona rural. Como a praça já possui iluminação, o primeiro poste será colocado a 80 metros da praça, o segundo, a 100 metros, o terceiro, a 120 metros, e assim sucessivamente, mantendo-se sempre uma distância de vinte metros entre os postes, até que o último poste seja colocado a uma distância de 1 380 metros da praça.
Se a prefeitura pode pagar, no máximo, R$ 8 000,00 por poste colocado, o maior valor que poderá gastar com a colocação desses postes é
a) R$512 000,00.
b) R$520 000,00.
c) R$528 000,00.
d) R$552 000,00.
e) R$584 000,00.
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Progressão Aritmética (P.A.): Fórmula do termo geral.
- Modelagem Algébrica: Transformar um problema do mundo real em uma equação.
- Operações Básicas: Multiplicação com números grandes.
Tema/Objetivo Geral:
Identificação de padrões numéricos e contagem de elementos em uma sequência.
Nível da Questão: Médio.
- Embora a matemática seja simples, o nível é médio devido à interpretação. A questão exige que o aluno modele corretamente a situação física (postes em uma estrada) para uma linguagem matemática sem cair no erro clássico de confundir “distância” com “quantidade de objetos”.
Gabarito: Alternativa C.
- Serão necessários 66 postes. Multiplicando pelo custo unitário (R$8.000,00) chegamos ao total de R$528.000,00.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
A prefeitura quer saber o orçamento total para uma obra.
Para isso, precisamos responder a duas perguntas simples, mas sequenciais:
- Quantos postes serão instalados no total?
- Quanto custa essa quantidade de postes?
Simplificação Radical:
Imagine que você está subindo uma escada. Você sabe a altura do primeiro degrau, a altura de cada “pulo” entre os degraus e a altura onde está o último degrau. Seu trabalho é contar quantos degraus existem e multiplicar esse número pelo preço de cada um.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Identificar o padrão de distâncias (onde começa, de quanto em quanto aumenta e onde termina).
- Usar a ferramenta de Progressão Aritmética para descobrir o número de postes (“n”).
- Multiplicar esse número por R$ 8.000,00.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para resolver isso, vamos usar a Fórmula do Termo Geral da P.A., mas vamos entendê-la intuitivamente antes.
A Lógica dos “Pulos” vs. “Postes”
Imagine que temos postes nas posições: 10m, 20m, 30m.
- Do 1º para o 3º poste, a distância aumentou 20 metros.
- Isso significa que demos 2 “pulos” de 10 metros.
- Perceba: Para chegar no poste número 3, demos 2 pulos. Para chegar no poste número “n”, daremos “n-1” pulos.
Por isso a fórmula é:
Ultimo Termo = Primeiro Termo + (numero de pulos x tamanho do pulo)
Matematicamente: An = A1 + (n – 1) x r
Onde:
- An: Posição final (Onde está o último poste).
- A1: Posição inicial (Onde está o primeiro poste).
- n: Quantidade de postes (O que queremos descobrir).
- r: Razão (A distância entre um poste e outro).
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos extrair os dados do texto e jogar na nossa máquina de calcular.
Identificando os dados:
- Primeiro poste (A1): 80 metros.
- Distância entre eles (r): 20 metros.
- Último poste (An): 1.380 metros.
1. Calculando a quantidade de postes (n):
Vamos montar a equação:
1380 = 80 + (n – 1) x 20
Primeiro, passamos o 80 subtraindo para o outro lado (queremos saber a distância total coberta pelos intervalos):
1380 – 80 = (n – 1) x 20
1300 = (n – 1) x 20
Agora, o 20 que está multiplicando passa dividindo (vamos descobrir quantos “intervalos” de 20 metros cabem em 1300 metros):
1300 / 20 = n – 1
65 = n – 1
Aqui está o pulo do gato. Temos 65 intervalos, mas queremos o número de postes. Passamos o -1 somando:
65 + 1 = n
n = 66 postes.
2. Calculando o Orçamento:
Agora é só fazer a conta de padaria. Se cada poste custa 8 mil reais:
Total = 66 x 8.000
Dica de cálculo mental: Esqueça os zeros por um momento. Faça 66 x 8.
60 x 8 = 480
6 x 8 = 48
480 + 48 = 528.
Agora devolva os três zeros: R$ 528.000,00.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
O erro mais comum aqui é parar a conta no número 65.
Muitos alunos fazem a conta mentalmente: “(Final – Inicial) dividido por 20”.
(1380 – 80) / 20 = 65.
E aí multiplicam 65 por 8.000, achando R$ 520.000,00 (Letra B).
Cuidado: Ao dividir a distância pelo tamanho do passo, você encontra o número de espaços vazios entre os postes, não o número de postes. Em uma fileira, o número de objetos é sempre o número de espaços + 1.
A Bússola (Síntese do Raciocínio):
Descobrimos que são 66 postes. O custo total deve ser 528 mil.
Expectativa: Procuramos a alternativa que mostre exatamente esse valor.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Vamos analisar as opções na ordem apresentada.
- Análise da Alternativa (A) – R$ 512 000,00:
Para chegar a esse valor, o aluno teria calculado 64 postes (64 x 8.000 = 512.000). Isso aconteceria se, na fórmula, o aluno usasse (n + 1) em vez de (n – 1), invertendo a lógica, ou simplesmente errasse a subtração final.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta. - Análise da Alternativa (B) – R$ 520 000,00:
Essa é a “casca de banana” que descrevemos na Armadilha Clássica. O aluno calculou 65 intervalos em vez de 66 postes. Multiplicou 65 x 8.000 e encontrou 520.000. É o erro de conceito mais provável.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta. - Análise da Alternativa (C) – R$ 528 000,00:
Análise de Correspondência: Perfeito. O cálculo considera corretamente os 65 intervalos mais o poste inicial, totalizando 66 unidades. 66 vezes 8.000 resulta no valor exato.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta. - Análise da Alternativa (D) – R$ 552 000,00:
Esse valor corresponde a 69 postes (69 x 8.000). Não há um erro lógico óbvio que leve a esse número específico, sendo provavelmente fruto de erro grosseiro de cálculo na divisão ou multiplicação.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta. - Análise da Alternativa (E) – R$ 584 000,00:
Esse valor corresponde a 73 postes. Também decorre de erro de manipulação algébrica ou aritmética sem base lógica forte.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta correta é a Letra C. O segredo não é apenas saber a fórmula, mas entender que intervalos ≠ objetos.
Resumo-flash:
Para cercar 10 metros com cercas a cada 1 metro, você precisa de 10 espaços, mas 11 estacas. Sempre some 1.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Esse princípio é fundamental em Programação e Ciência da Computação, conhecido como “Off-by-one error” (Erro de um a menos ou um a mais). Ao criar um loop (repetição) para ler dados de uma lista (array), programadores iniciantes frequentemente esquecem se a contagem começa no 0 ou no 1, ou se vai até “n” ou até “n-1”, causando bugs críticos em softwares bancários e de engenharia.
