Em 2014 foi inaugurada a maior roda-gigante do mundo, a High Roller, situada em Las Vegas. A figura
representa um esboço dessa roda-gigante, no qual o ponto A representa uma de suas cadeiras
A partir da posição indicada, em que o segmento OA se encontra paralelo ao plano do solo, rotaciona-se a
High Roller no sentido anti-horário, em torno do ponto O. Sejam t o ângulo determinado pelo segmento OA em
relação à sua posição inicial, e f a função que descreve a altura do ponto A, em relação ao solo, em função de t.
Após duas voltas completas, f tem o seguinte gráfico:
A expressão da função altura é dada por
A) f (t) = + 80sen (t) 88
B) f (t) = + 80cos (t) 88
C) f (t) = + 88cos (t) 168
D) f (t) = + 168sen (t) 88cos (t)
E) f (t) = + 88sen (t) 168cos (t)
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Funções Trigonométricas (Seno e Cosseno), Análise de Gráficos de Ondas, Parâmetros de Amplitude e Deslocamento Vertical.
Tema/Objetivo Geral
Modelagem Matemática de Fenômenos Periódicos.
Nível da Questão: Difícil.
- Exige que o aluno domine a conexão entre três mundos diferentes: o mundo físico (a roda girando), o mundo gráfico (a onda desenhada) e o mundo algébrico (a equação). Identificar os parâmetros e a escolha da função correta requer abstração elevada.
Gabarito: Alternativa A.
- A função é f(t) = 80 * sen(t) + 88.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
Temos um objeto (cadeira da roda-gigante) que sobe e desce repetidamente. O gráfico mostra a altura dessa cadeira ao longo do tempo. O desafio é encontrar a fórmula matemática exata que gera esse gráfico.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que a fórmula matemática é uma “receita de bolo” com três ingredientes principais:
- O tipo de massa (Função): É Seno ou Cosseno? (Depende de como começa).
- O tamanho do bolo (Amplitude): Qual o tamanho da roda (raio)?
- A altura da mesa (Deslocamento): A que altura do chão está o eixo da roda?
Nosso plano é descobrir o valor de cada um desses três ingredientes olhando para o gráfico.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Descobrir o Eixo Central: Achar a linha média onde a onda oscila (o eixo da roda).
- Descobrir o Raio: Calcular a distância do meio até o topo (Amplitude).
- Escolher a Função: Decidir entre Seno e Cosseno observando o instante zero.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Conceito Principal:
Toda função de onda simples segue a estrutura padrão: f(t) = A * Função(t) + D.
Para você nunca mais confundir quem é quem, preparei esta tabela definitiva com definições e exemplos práticos.
TABELA TÁTICA: OS SEGREDOS DA FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA
| COMPONENTE | NOME TÉCNICO | O QUE FAZ NA PRÁTICA? | EXEMPLO PRÁTICO |
| D (Valor somado no final) | Deslocamento Vertical (Eixo Médio) | Define o “chão” ou o centro da oscilação. É a altura do eixo da roda. Ele empurra o gráfico todo para cima ou para baixo. | Se uma roda tem o eixo a 10 metros do chão, a fórmula termina com + 10. |
| A (Valor que multiplica) | Amplitude (Raio) | Define a intensidade da onda. Na roda-gigante, é exatamente o valor do Raio. É a distância do meio até o topo. | Se o raio da roda é 5 metros, a fórmula começa com 5 vezes a função. |
| Função SENO | sen(t) | É a função que parte do equilíbrio. Em t=0, ela vale 0. O gráfico nasce no meio e sobe. | Gráfico de batimento cardíaco no monitor (começa na linha reta e dá o pico). |
| Função COSSENO | cos(t) | É a função que parte do extremo. Em t=0, ela vale 1. O gráfico nasce no topo máximo e desce. | Soltar um pêndulo: você puxa ele até o alto (máximo) e solta. Ele começa do topo. |
Resumo da Tabela:
- Para achar o D: Procure o meio do gráfico.
- Para achar o A: Meça do meio até o topo.
- Para escolher a Função: Olhe onde o desenho começa (no meio = Seno; no topo = Cosseno).
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos montar nossa fórmula passo a passo, consultando a tabela acima.
1. Identificando o “Chão da Roda” (Eixo Central / Parâmetro D):
Olhe para o gráfico no instante inicial (t = 0). Onde a linha começa?
Ela começa na altura 88.
Depois ela sobe para 168 e desce de volta.
Perceba que a linha horizontal imaginária que corta a onda ao meio está na altura 88.
Conclusão 1: O eixo da roda está a 88 metros. Logo, D = 88.
2. Identificando o Tamanho da Roda (Amplitude / Parâmetro A):
Sabemos que o meio é 88.
O gráfico mostra que o ponto mais alto (pico) é 168.
Qual é a distância do meio até o topo? (Consulte a tabela: isso é a Amplitude).
Conta: 168 – 88 = 80.
Isso significa que o raio da roda é 80 metros.
Conclusão 2: A Amplitude é 80. Logo, A = 80.
3. Escolhendo a Identidade (Seno ou Cosseno?):
Esta é a parte crítica. Vamos olhar para o instante zero (t = 0).
A cadeira começa na altura máxima (168)? Não.
A cadeira começa na altura média (88) e começa a subir? Sim.
Volte à tabela: Quem começa no equilíbrio e sobe? É o SENO.
Conclusão 3: A função base é sen(t).
4. Montando o Quebra-Cabeça:
Fórmula Geral: f(t) = A * Função(t) + D
Substituindo os nossos achados:
A = 80
Função = sen(t)
D = 88
Resultado Final:
f(t) = 80 * sen(t) + 88
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
A confusão do início: Muitos alunos olham o ponto A na figura da roda (que está à direita) e pensam: “Ah, está na ponta, então é cosseno porque cosseno é eixo X”. Cuidado! Na análise de funções temporais, o que importa é o valor da altura (y) no tempo zero. Se a altura inicial é a média (nem topo, nem fundo), é SENO. Se a altura inicial fosse o topo da roda, seria COSSENO.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
Síntese do raciocínio: O gráfico parte do valor médio (88), o que indica Seno. O gráfico sobe 80 unidades até o topo (168), o que indica Amplitude 80. O eixo de oscilação é 88, o que indica soma de 88.
Expectativa: f(t) = 80sen(t) + 88.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Vamos validar nossa equação testando os pontos chaves: t = 0 (início) e t = pi/2 (topo, que equivale a 90 graus).
(A) f(t) = 80sen(t) + 88.
Análise de Correspondência:
Teste t=0: sen(0) é 0. Logo, 80 * 0 + 88 = 88. (Correto, ponto inicial).
Teste t=pi/2: sen(90 graus) é 1. Logo, 80 * 1 + 88 = 168. (Correto, ponto máximo).
Esta função descreve perfeitamente o raio de 80m e o eixo a 88m.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
(B) f(t) = 80cos(t) + 88.
O Diagnóstico do Erro: O uso do Cosseno muda o ponto de partida.
Teste t=0: cos(0) é 1. Logo, 80 * 1 + 88 = 168.
Isso diria que a roda começa já no topo, o que contradiz o gráfico (que começa em 88).
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(C) f(t) = 88cos(t) + 168.
O Diagnóstico do Erro: Confusão total de parâmetros. Colocou a altura máxima como deslocamento e o eixo como amplitude.
Teste t=0: 88 * 1 + 168 = 256.
Um valor absurdo de altura.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(D) f(t) = 168sen(t) + 88cos(t).
O Diagnóstico do Erro: Uma mistura aleatória de funções.
Teste t=pi (meia volta): sen(180) é 0, cos(180) é -1. Resultado: 0 – 88 = -88.
A roda entraria 88 metros embaixo da terra. Fisicamente impossível.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(E) f(t) = 88sen(t) + 168cos(t).
O Diagnóstico do Erro: Outra mistura incorreta.
Teste t=0: 88 * 0 + 168 * 1 = 168.
Novamente, afirma que a roda começa no topo, o que é falso.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
Para modelar movimentos circulares, olhe sempre para o ponto de partida: se nasce no equilíbrio, é seno; se nasce no extremo, é cosseno. A amplitude é o raio, e o termo somado é a altura do eixo.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Gráfico que nasce no meio e sobe a ladeira é SENO. Gráfico que nasce no topo e desce a ladeira é COSSENO.”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este mesmo raciocínio é usado na Acústica e Música. O som puro é uma onda senoidal. Se você aumentar o volume do som, você está aumentando a Amplitude da função. Se você deixar o som mais agudo, você está mexendo no período (frequência) dentro da função seno. A matemática da roda-gigante é a mesma matemática da sua música favorita.
