Uma empresa de comunicação tem a tarefa de elaborar um material publicitário de um estaleiro para
divulgar um novo navio, equipado com um guindaste de 15 m de altura e uma esteira de 90 m de comprimento.
No desenho desse navio, a representação do guindaste deve ter sua altura entre 0,5 cm e 1 cm, enquanto a
esteira deve apresentar comprimento superior a 4 cm. Todo o desenho deverá ser feito em uma escala 1 : X.
Os valores possíveis para X são, apenas,
A) X > 1 500.
B) X < 3 000.
C) 1 500 < X < 2 250.
D) 1 500 < X < 3 000.
E) 2 250 < X < 3 000.
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Razão e Proporção, Escalas, Conversão de Unidades, Inequações.
Tema/Objetivo Geral
Cálculo de Escalas Cartográficas e Análise de Intervalos.
Nível da Questão: Médio.
- A questão exige não apenas o cálculo da fórmula de escala, mas a interpretação de desigualdades. O aluno precisa entender que a escala funciona de forma inversamente proporcional: para aumentar o desenho, diminuímos o denominador da escala, e vice-versa. É aí que muitos se perdem.
Gabarito: Alternativa C.
- O intervalo que satisfaz ambas as condições simultaneamente é entre 1.500 e 2.250.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
Estamos criando um anúncio publicitário. Precisamos definir o “zoom” (a escala 1:X) para desenhar um navio. Temos duas restrições de tamanho no papel: o guindaste não pode ficar nem muito pequeno nem muito grande, e a esteira precisa ter um tamanho mínimo. A missão é achar o intervalo de valores de X que satisfaça todo mundo ao mesmo tempo.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que o X é o quanto você “encolhe” a realidade.
- Se encolher demais (X muito grande), o desenho fica minúsculo (o guindaste some).
- Se encolher de menos (X muito pequeno), o desenho fica gigante (cabe o guindaste, mas a esteira pode estourar o limite ou violar a regra).
Precisamos achar a “zona de equilíbrio”.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Padronizar as Unidades: Passar tudo para centímetros (cm), pois escala não aceita mistura de metros com centímetros.
- Investigar o Guindaste: Calcular os limites de X para a altura dele.
- Investigar a Esteira: Calcular o limite de X para o comprimento dela.
- A Interseção: Cruzar os dados e achar o intervalo comum.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Conceito Principal:
Escala (E) é a razão entre o Desenho (d) e a Realidade (R). Para organizar o raciocínio de “o que sobe e o que desce”, vamos usar esta tabela tática:
TABELA TÁTICA: DOMINANDO A ESCALA 1:X
| ELEMENTO | DEFINIÇÃO E FÓRMULA PRÁTICA |
| A Fórmula Básica | E = d / R (Desenho sobre Realidade) |
| A Fórmula do X | X = R / d (Realidade dividida pelo Desenho) |
| O Significado do X | O “fator de encolhimento”. Quantas vezes reduzimos a realidade. |
| Cenário 1: Desenho MAIOR | Exige um X MENOR. (Divide-se a realidade por pouco). |
| Cenário 2: Desenho MENOR | Exige um X MAIOR. (Divide-se a realidade por muito). |
Regra de Ouro (Inversamente Proporcional):
Grave a última parte da tabela: desenho grande pede divisor pequeno. Desenho pequeno pede divisor grande.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos converter as medidas reais (R) para centímetros.
- Guindaste: 15 m = 1.500 cm.
- Esteira: 90 m = 9.000 cm.
1. Investigando o Guindaste (A Restrição Dupla):
O desenho (d) deve ficar entre 0,5 cm e 1 cm.
Vamos testar os extremos para achar o limite do X.
- Caso A (Desenho Máximo – 1 cm):
X = 1.500 / 1
X = 1.500
(Se o desenho é o maior possível, esse é o MENOR valor de X). - Caso B (Desenho Mínimo – 0,5 cm):
X = 1.500 / 0,5
X = 3.000
(Se o desenho é o menor possível, esse é o MAIOR valor de X).
Conclusão Parcial 1: Para o guindaste dar certo, o X deve estar entre 1.500 e 3.000.
(1.500 < X < 3.000).
2. Investigando a Esteira (A Restrição Única):
O desenho (d) deve ser maior que 4 cm.
- Caso Limite (Desenho = 4 cm):
X = 9.000 / 4
X = 2.250
Agora a lógica crítica: Para o desenho ser MAIOR que 4 cm, precisamos dividir a realidade por um número menor ou maior que 2.250?
Consulte a tabela: desenho maior exige divisor (X) menor.
Conclusão Parcial 2: Para a esteira funcionar, o X deve ser menor que 2.250.
(X < 2.250).
3. O Cruzamento de Dados (Interseção):
Temos duas ordens para obedecer:
- O X deve ser maior que 1.500 e menor que 3.000.
- O X deve ser menor que 2.250.
Juntando tudo: O X deve ser maior que 1.500, mas tem que parar no 2.250 (por causa da esteira), não podendo chegar até o 3.000.
Intervalo Final: 1.500 < X < 2.250.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
O erro fatal aqui é na inequação da esteira. O aluno calcula X = 2.250 e pensa: “Se o desenho tem que ser maior, o X tem que ser maior que 2.250”. ERRADO! Se você aumentar o X (divisor), o resultado da divisão (desenho) diminui. Para aumentar o desenho, você precisa diminuir o X.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
Síntese do raciocínio: Calculamos os limites de X para cada objeto e fizemos a interseção dos conjuntos.
Expectativa: Um intervalo que comece em 1.500 e termine em 2.250.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Vamos validar o intervalo 1.500 < X < 2.250.
(A) X > 1 500.
O Diagnóstico do Erro: Esta opção define apenas o piso, mas não define o teto. Se X for 5.000, por exemplo, o guindaste ficaria minúsculo (menor que 0,5 cm) e a esteira também.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(B) X < 3 000.
O Diagnóstico do Erro: Define o teto máximo do guindaste, mas ignora o teto da esteira (2.250). Se escolhermos X = 2.500, o guindaste fica ok, mas a esteira ficaria com menos de 4 cm.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(C) 1 500 < X < 2 250.
Análise de Correspondência: Perfeito. Este intervalo respeita o mínimo do guindaste (1.500) e o limite máximo imposto pela esteira (2.250). Qualquer valor aqui funciona para os dois.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
(D) 1 500 < X < 3 000.
O Diagnóstico do Erro: Este é o intervalo que satisfaz apenas o guindaste. O candidato que marcou essa esqueceu de verificar a restrição da esteira.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(E) 2 250 < X < 3 000.
O Diagnóstico do Erro: Este intervalo satisfaz o guindaste, mas viola totalmente a regra da esteira (gera desenhos menores que 4 cm).
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
Para atender a múltiplos requisitos de escala, devemos encontrar a interseção entre os intervalos, lembrando sempre que escalas maiores (denominadores menores) geram desenhos maiores.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Na escala 1:X, o X é um triturador: quanto maior o X, menor sobra do desenho.”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este problema é a base da Programação Linear e Pesquisa Operacional usadas em logística e engenharia. Quando você tem várias restrições (orçamento, tempo, espaço) e precisa encontrar uma “região viável” para operar, você está fazendo exatamente o que fizemos aqui: encontrando a interseção de desigualdades.
