Torneios de tênis, em geral, são disputados em sistema de eliminatória simples. Nesse sistema, são
disputadas partidas entre dois competidores, com a eliminação do perdedor e promoção do vencedor para
a fase seguinte. Dessa forma, se na 1a fase o torneio conta com 2n competidores, então na 2a fase restarão n
competidores, e assim sucessivamente até a partida final. Em um torneio de tênis, disputado nesse sistema,
participam 128 tenistas.
Para se definir o campeão desse torneio, o número de partidas necessárias é dado por
A) 2 × 128
B) 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2
C) 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1
D) 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2
E) 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Raciocínio Lógico (Sequências), Progressão Geométrica (Conceitual).
Tema/Objetivo Geral
Modelagem de situações-problema envolvendo redução sucessiva pela metade (eliminatória simples).
Nível da Questão: Fácil.
- Didaticamente falando, é uma questão de “fluxo simples”. Não exige fórmulas complexas, apenas a organização mental de um processo que todo mundo conhece (um campeonato). O desafio é apenas não errar a contagem na hora de passar para o papel.
Gabarito: Alternativa E.
- O número total de partidas é a soma das partidas de cada fase: começa com 64 (metade dos jogadores) e vai dividindo por 2 até chegar à final (1 partida).
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Vamos direto ao ponto. A questão apresenta um torneio “mata-mata”. Entram 128 pessoas. Perdeu? Saiu. Ganhou? Continua. O que o examinador quer não é apenas o número final de jogos, mas a expressão matemática que mostra quantos jogos acontecem em cada etapa, do começo até a grande final.
Simplificando, imagine uma pirâmide. A base é larga (muita gente jogando). O topo é estreito (apenas dois jogando a final). A questão quer que descrevamos essa pirâmide, degrau por degrau.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Entender a Mecânica: Compreender quantos jogos são necessários para eliminar metade dos participantes.
- Simular o Torneio: Fazer o “caminho do campeão”, fase por fase, anotando o número de partidas.
- Montar a Soma: Escrever a sequência de números que representa todos os jogos.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para visualizar isso sem decorar fórmulas, vamos usar um Fluxograma de Raciocínio. A lógica é binária: para ter 1 jogo, precisamos de 2 pessoas.
O Fluxo da Eliminação:
- Entrada: Quantidade de Jogadores Atuais.
- Processo: Dividir a quantidade de jogadores por 2.
- Saída 1: Número de Partidas daquela fase (É isso que a questão quer somar).
- Saída 2: Número de Vencedores que vão para a próxima fase (que é igual ao número de partidas).
Exemplo prático com 4 pessoas:
4 jogadores → Dividir por 2 → 2 Partidas acontecem → 2 Vencedores sobram.
2 jogadores → Dividir por 2 → 1 Partida acontece → 1 Campeão.
Total: 2 + 1.
A ferramenta é simples: Dividir por 2 sucessivamente e somar os resultados.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos rodar o nosso fluxograma com os 128 tenistas do enunciado.
Fase 1 (O Início):
Temos 128 tenistas.
Para todos jogarem, precisamos formar pares.
128 dividido por 2 = 64 partidas.
(Sobram 64 vencedores).
Fase 2:
Temos 64 tenistas restantes.
Formando pares:
64 dividido por 2 = 32 partidas.
(Sobram 32 vencedores).
Fase 3:
Temos 32 tenistas.
32 dividido por 2 = 16 partidas.
Fase 4 (Oitavas de final):
Temos 16 tenistas.
16 dividido por 2 = 8 partidas.
Fase 5 (Quartas de final):
Temos 8 tenistas.
8 dividido por 2 = 4 partidas.
Fase 6 (Semifinal):
Temos 4 tenistas.
4 dividido por 2 = 2 partidas.
Fase 7 (A Grande Final):
Temos 2 tenistas.
2 dividido por 2 = 1 partida.
Agora temos o campeão. O torneio acabou.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
Muitos candidatos esquecem da última partida (a final) ou da primeira conta. O erro mais comum é achar que se tem 128 jogadores, tem 128 partidas na primeira rodada. Não! O número de partidas é sempre a metade do número de jogadores. Outro erro é parar a soma no “2”, esquecendo que os dois finalistas ainda precisam jogar “1” vez para decidir o título.
A Bússola (Síntese do Raciocínio):
Precisamos de uma alternativa que mostre a soma de todas essas etapas que calculamos:
64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1.
Expectativa:
Procuramos uma soma decrescente que comece em 64 e termine obrigatoriamente em 1.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Vamos analisar cada opção na ordem alfabética.
A “Narrativa do Erro”:
Alternativa A: 2 × 128.
Isso daria 256 partidas. O candidato pode ter pensado que cada jogador joga duas vezes ou algo do tipo. É um absurdo lógico, pois haveria mais jogos do que gente.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
A “Narrativa do Erro”:
Alternativa B: 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2.
Quase lá. O aluno fez todo o processo de divisão, mas esqueceu a “cereja do bolo”: a final. Ele parou nas semifinais (onde sobraram 2 jogos). Sem a partida final (+1), não há campeão.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
A “Narrativa do Erro”:
Alternativa C: 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1.
Aqui o candidato confundiu “Jogadores” com “Partidas”. Na primeira fase temos 128 jogadores, mas apenas 64 partidas. Essa alternativa soma os participantes iniciais como se fossem jogos.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
A “Narrativa do Erro”:
Alternativa D: 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2.
Erro duplo. O candidato confundiu jogadores com partidas (começando com 128) E ainda esqueceu a final (terminando em 2). É a alternativa mais incoerente da lista.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
Análise de Correspondência:
Alternativa E: 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1.
Perfeita.
1ª fase: 64 jogos.
2ª fase: 32 jogos.
…
Final: 1 jogo.
Retrata exatamente a árvore do torneio.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
O número de partidas é a soma dos termos de uma Progressão Geométrica de razão 1/2, começando com a metade do número total de participantes e terminando em 1.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Para achar o campeão, vá dividindo a galera por 2 até sobrar só 1 jogo.”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Quer um jeito “ninja” de resolver isso em 2 segundos?
Pense assim: Para sair 1 campeão, 127 pessoas precisam perder e ir para casa.
Como cada partida elimina exatamente 1 pessoa (o perdedor), o número total de partidas sempre será o número de jogadores menos um (N – 1).
128 jogadores – 1 campeão = 127 perdedores = 127 partidas.
Se você somar 64+32+16+8+4+2+1, adivinhe quanto dá? 127. Essa lógica vale para torneios de e-sports, tênis e até algoritmos de computação!
