Para apagar os focos A e B de um incêndio, que estavam a uma distância de 30 m um do outro, os
bombeiros de um quartel decidiram se posicionar de modo que a distância de um bombeiro ao foco A, de
temperatura mais elevada, fosse sempre o dobro da distância desse bombeiro ao foco B, de temperatura
menos elevada.
Nestas condições, a maior distância, em metro, que dois bombeiros poderiam ter entre eles é
A) 30.
B) 40.
C) 45.
D) 60.
E) 68.
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Geometria Analítica (Distância entre Pontos), Lugar Geométrico (Círculo de Apolônio), Equação da Circunferência.
Tema/Objetivo Geral
Identificação de lugar geométrico a partir de uma razão de distâncias e cálculo de medidas em figuras planas.
Nível da Questão: Difícil.
- Brutalmente falando, esta questão é uma “caça-ratueira”. A maioria dos candidatos decora que distância fixa gera Círculo, soma constante gera Elipse e diferença constante gera Hipérbole. Mas quase ninguém estuda o que acontece quando temos uma razão (proporção) entre distâncias. Isso exige manipulação algébrica robusta para deduzir o formato da figura.
Gabarito: Alternativa B.
- A figura formada pelas posições possíveis é um círculo de raio 20. A maior distância possível entre dois pontos em um círculo é o diâmetro, logo, 40 metros.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Vamos despir a questão de qualquer enfeite. O enunciado nos dá dois pontos fixos no chão (os focos de incêndio A e B) distantes 30m um do outro. Existe uma “lei sagrada” para os bombeiros: a distância deles até o fogo A tem que ser sempre o dobro da distância até o fogo B.
Simplificando, imagine que existe uma cerca invisível desenhada no chão seguindo exatamente essa regra matemática. Os bombeiros só podem pisar em cima dessa linha. O desafio é descobrir qual é a distância máxima (a linha reta mais longa) que conseguimos traçar conectando dois pontos dessa cerca invisível.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Traduzir para o papel: Colocar os focos A e B em um plano cartesiano para facilitar as contas.
- Montar a equação: Transformar a frase “Distância até A é o dobro da distância até B” em álgebra pura.
- Identificar o desenho: Resolver a equação para descobrir que desenho (Lugar Geométrico) ela forma no chão.
- Medir o extremo: Calcular a maior distância possível dentro desse desenho.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para este caso, a melhor forma de organizar nosso conhecimento é através de um Dossiê Técnico do Geômetra. Vamos entender o comportamento das distâncias.
Dossiê: O DNA das Formas Geométricas
Aqui está o segredo para não cair em pegadinhas. O formato do desenho depende exclusivamente de como as distâncias se relacionam. Vamos chamar um ponto qualquer de P, e os focos de A e B.
- Situação 1: Distância Fixa.
Se a distância de P até um centro é constante → Temos um Círculo. - Situação 2: Soma Constante.
Se Distância(P,A) + Distância(P,B) = Constante → Temos uma Elipse. - Situação 3: Diferença Constante.
Se Distância(P,A) – Distância(P,B) = Constante → Temos uma Hipérbole. - Situação 4: Razão (Multiplicação) Constante (O CASO DA QUESTÃO).
Se Distância(P,A) = k vezes Distância(P,B) → Temos o chamado Círculo de Apolônio (desde que k não seja 1).
Isso mesmo. Quando dizemos que uma distância é o dobro, o triplo ou a metade da outra, o desenho formado não é uma curva aberta como a hipérbole ou parábola, mas sim uma curva fechada: uma Circunferência.
Para provar isso e achar o tamanho dela, usaremos a fórmula clássica da distância entre dois pontos:
Distância² = (x2 – x1)² + (y2 – y1)²
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos aplicar o Dossiê na prática. Acompanhe o raciocínio matemático sem medo.
1. O Cenário (Posicionamento Estratégico):
Para facilitar absurdamente nossa vida, vamos colocar o Foco A na origem do gráfico e o Foco B no eixo X, a 30 metros de distância.
- Ponto A = (0, 0)
- Ponto B = (30, 0)
- Posição do Bombeiro = P(x, y)
2. A Regra do Jogo (Equacionando):
O enunciado diz: “A distância ao foco A (dA) deve ser o dobro da distância ao foco B (dB)”.
Matematicamente:
dA = 2 . dB
Vamos elevar os dois lados ao quadrado para nos livrarmos daquelas raízes quadradas chatas da fórmula de distância. Isso é um truque de mestre.
(dA)² = 4 . (dB)²
(Note que o 2 virou 4)
3. Substituindo as coordenadas:
- Distância de P(x,y) até A(0,0) é: x² + y²
- Distância de P(x,y) até B(30,0) é: (x – 30)² + y²
Jogando na nossa equação montada acima:
x² + y² = 4 . [ (x – 30)² + y² ]
4. A Revelação Algébrica:
Vamos expandir o termo (x – 30)² que é um produto notável (quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro pelo segundo, mais quadrado do segundo).
x² + y² = 4 . [ x² – 60x + 900 + y² ]
Agora, aplicamos a distributiva (o 4 multiplica todo mundo dentro do colchete):
x² + y² = 4x² – 240x + 3600 + 4y²
Vamos jogar tudo para o lado direito para deixar o x² positivo e igualar a zero:
0 = 3x² – 240x + 3y² + 3600
Temos muitos números múltiplos de 3. Vamos simplificar a vida dividindo tudo por 3:
x² – 80x + y² + 1200 = 0
5. Completando Quadrados (O Pulo do Gato):
Essa é a equação de uma circunferência, mas ela está “bagunçada”. Precisamos achar o centro e o raio.
Olhe para “x² – 80x”. Isso parece o começo de (x – 40)², certo?
(x – 40)² dá x² – 80x + 1600.
Então, vamos escrever assim:
(x – 40)² – 1600 + y² + 1200 = 0
(x – 40)² + y² – 400 = 0
(x – 40)² + y² = 400
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
Muita gente para a conta no meio, vê um sinal de menos em algum lugar e acha que é uma Hipérbole. Ou então confunde a distância entre os focos (30m) com a resposta. Cuidado! A álgebra não mente. Chegamos na equação reduzida da circunferência:
(x – a)² + (y – b)² = R²
Onde R² = 400.
Logo, o Raio (R) = √400 = 20 metros.
A Bússola (Síntese do Raciocínio):
Descobrimos que os bombeiros caminham sobre um círculo perfeito.
- O Raio desse círculo é 20 metros.
- A questão pede a maior distância possível entre dois bombeiros.
- Em um círculo, a maior distância possível é passar de um lado ao outro pelo centro. O nome disso é Diâmetro.
Expectativa:
Estamos procurando o valor do Diâmetro: 2 vezes o Raio.
2 x 20 = 40.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Vamos dissecar as opções na ordem apresentada.
A “Narrativa do Erro”:
Alternativa A: 30.
O aluno apressado lê o enunciado, vê “distância entre os focos é 30” e marca achando que essa é a maior distância relevante. Erro de leitura e interpretação.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
Análise de Correspondência:
Alternativa B: 40.
Bingo. Se o raio de atuação é 20 metros, a maior distância entre dois pontos dessa circunferência (o diâmetro) é exatamente 40 metros. Encaixa perfeitamente na nossa expectativa.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
A “Narrativa do Erro”:
Alternativa C: 45.
Um distrator numérico comum. O aluno pode ter tentado somar 30 com a metade de 30 (15), criando uma lógica aditiva sem fundamento geométrico, ignorando a natureza quadrática da distância.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
A “Narrativa do Erro”:
Alternativa D: 60.
Aqui o aluno pensou de forma linear: “Se a distância é 30 e a razão é o dobro, então 2 vezes 30 é 60”. Ele operou os números do enunciado diretamente, sem montar a equação do lugar geométrico.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
A “Narrativa do Erro”:
Alternativa E: 68.
Provavelmente um valor aleatório ou resultado de um erro grosseiro de cálculo (como somar quadrados errados ou confundir raízes) para pegar quem está chutando.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A maior distância entre os bombeiros é o diâmetro do Círculo de Apolônio formado pela razão de suas distâncias aos focos, resultando em 40 metros.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Razão entre distâncias cria Círculo. Diferença cria Hipérbole. Círculo pede Diâmetro.”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Na Física, esse mesmo conceito aparece no Eletromagnetismo. Se você tiver duas cargas elétricas de valores diferentes, as “superfícies equipotenciais” (onde a voltagem é zero) ao redor delas formam exatamente esferas (em 3D) ou círculos (em 2D), seguindo a mesma matemática do Círculo de Apolônio que usamos aqui. Geometria e Física andam de mãos dadas!
