Uma empresa produz e vende um tipo de chocolate, maciço, em formato de cone circular reto com as medidas do diâmetro da base e da altura iguais a 8 cm e 10 cm, respectivamente, como apresenta a figura.
Devido a um aumento de preço dos ingredientes utilizados na produção desse chocolate, a empresa decide produzir esse mesmo tipo de chocolate com um volume 19% menor, no mesmo formato de cone circular reto com altura de 10 cm.
Para isso, a empresa produzirá esses novos chocolates com medida do raio da base, em centímetro, igual a
A) 1,52.
B) 3,24.
C) 3,60.
D) 6,48.
E) 7,20.
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Geometria Espacial (Volume do Cone), Porcentagem e Álgebra Elementar (Simplificação de Equações).
Tema/Objetivo Geral
Relação de proporcionalidade entre volume e dimensões lineares (raio) quando uma das dimensões (altura) permanece constante.
Nível da Questão: Médio.
- Requer o conhecimento da fórmula do volume do cone e, principalmente, a habilidade de relacionar a redução percentual do volume com a redução do raio. O aluno que tentar fazer todas as contas com Pi (3,14) perderá muito tempo; o aluno estratégico usará simplificação algébrica.
Gabarito: Alternativa C.
- Se o volume final é 81% do original (redução de 19%), e a altura é a mesma, o quadrado do novo raio deve ser 81% do quadrado do raio antigo. Tirando a raiz quadrada de 0,81, descobrimos que o novo raio é 90% do raio original. 90% de 4 cm é 3,60 cm.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo
A questão apresenta um cone de chocolate. A empresa vai reduzir o tamanho dele diminuindo o volume em 19%, mas mantendo a mesma altura. O objetivo é descobrir qual deve ser a medida do novo raio da base para que essa redução de volume aconteça.
Simplificação Radical (A Analogia Central)
Imagine que a “base” do cone é a boca de uma mangueira e o volume é a quantidade de água que sai. Se você quer diminuir a água (volume), mas manter a pressão/tempo (altura) iguais, você precisa apertar a boca da mangueira (diminuir o raio).
A pergunta é: para a água diminuir 19%, o quanto devemos apertar a mangueira?
Plano de Ataque
- Definir os dados iniciais: Identificar raio e altura originais.
- Entender a mudança: Traduzir “reduzir 19% do volume” para “sobrar 81% do volume”.
- Comparar as fórmulas: Igualar o novo volume a 81% do volume antigo e cortar tudo o que for igual para sobrar apenas a relação entre os raios.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para entender a lógica de corte desta questão, acompanhe o diálogo entre um Mentor e seu Aluno sobre a essência das fórmulas.
Diálogo: O Poder da Comparação
Mentor: Vamos resolver isso sem calcular o volume com aquele número chato, o Pi. Qual a fórmula do volume do cone?
Aluno: É Pi vezes raio ao quadrado, vezes a altura, tudo dividido por 3.
Mentor: Ótimo. Agora, imagine que vamos calcular o Volume Novo. A altura mudou?
Aluno: Não, o texto diz que a altura continua 10 cm.
Mentor: O Pi muda? O número 3 muda?
Aluno: Claro que não, são constantes.
Mentor: Então, se o Volume Novo é igual a 0,81 vezes o Volume Antigo, e a única coisa que muda na fórmula é o raio… o que podemos concluir sobre o raio ao quadrado?
Aluno: Se tudo o resto é igual e corta… então o raio novo ao quadrado tem que ser igual a 0,81 vezes o raio antigo ao quadrado?
Mentor: Exatamente! Você acabou de deduzir uma regra de ouro. Se V é proporcional a r ao quadrado, a variação do volume é a variação do raio ao quadrado.
Aluno: Então é só tirar a raiz quadrada de 0,81?
Mentor: Sim. A raiz do fator de volume te dá o fator do raio. Simples assim.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos aplicar a lógica do diálogo.
Etapa 1: Dados do “Chocolate Antigo”
- Diâmetro = 8 cm. Logo, Raio (R) = 4 cm.
- Altura (h) = 10 cm.
- Volume Antigo = (Pi . 4² . 10) / 3.
Etapa 2: O Fator de Redução
O texto diz: “volume 19% menor”.
Se eu tinha 100% e tirei 19%, quanto sobrou?
100 – 19 = 81%.
Logo, o Volume Novo é 0,81 vezes o Volume Antigo.
Etapa 3: A Equação de Comparação
Vamos chamar o novo raio de r.
Volume Novo = 0,81 . (Volume Antigo)
(Pi . r² . 10) / 3 = 0,81 . [(Pi . 4² . 10) / 3]
Agora, a mágica do corte (simplificação):
- Tem Pi dos dois lados? Corta.
- Tem 10 dos dois lados? Corta.
- Tem divisão por 3 dos dois lados? Corta.
O que sobrou?
r² = 0,81 . 4²
Etapa 4: Resolvendo para r
Podemos fazer a conta ou tirar a raiz quadrada de tudo agora. Vamos tirar a raiz, é mais elegante.
Raiz de r² = r
Raiz de 0,81 = 0,9
Raiz de 4² = 4
Logo:
r = 0,9 . 4
r = 3,6
Resultado: O novo raio deve ser 3,60 cm.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
O erro mais comum é usar o diâmetro (8) na fórmula em vez do raio (4). Se o aluno fizer todas as contas usando 8, achará r = 7,20 (Alternativa E), caindo na pegadinha.
Outro erro é calcular 19% de 4 (que dá 0,76) e subtrair, achando 3,24 (Alternativa B). Isso é errado porque a relação é quadrática, não linear.
Bússola (Síntese do Raciocínio)
Se o volume caiu para 0,81, o raio caiu para a raiz de 0,81 (que é 0,9). O novo raio é 90% do antigo. 90% de 4 é 3,6.
Expectativa: Procurar a alternativa 3,60.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
- A) 1,52.
Diagnóstico do Erro: Cálculo aleatório.
Talvez o aluno tenha tentado calcular 19% de 8 (1,52) e achou que essa era a resposta direta.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta. - B) 3,24.
Diagnóstico do Erro: Confusão Linear vs Quadrática.
O aluno pode ter aplicado o fator 0,81 diretamente ao raio (4 x 0,81 = 3,24), esquecendo que o raio está ao quadrado na fórmula do volume. Ou subtraiu 19% de 4.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta. - C) 3,60.
Análise de Correspondência:
Ao perceber que o Raio Novo deve ser a raiz quadrada de 0,81 vezes o Raio Antigo (ou seja, 0,9 vezes), temos:0,9×4=3,60cm. Cálculo perfeito.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta. - D) 6,48.
Diagnóstico do Erro: Erro de Diâmetro + Linear.
O aluno usou o diâmetro (8) e multiplicou por 0,81. (8 x 0,81 = 6,48). Errou duas vezes: não usou o raio e não tirou a raiz.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta. - E) 7,20.
Diagnóstico do Erro: Erro de Diâmetro.
O aluno fez o raciocínio correto da raiz quadrada (fator 0,9), mas aplicou sobre o diâmetro de 8 cm em vez do raio de 4 cm. (8 x 0,9 = 7,2).
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento
Em geometria espacial, quando mantemos a altura constante, a variação do volume é sempre proporcional ao quadrado da variação do raio.
Resumo-flash
“Volume virou oitenta e um? Raio vira zero nove, sem erro algum.” (Raiz de 81 é 9).
Para ir Além (A Ponte para o Futuro)
Esse princípio é a Lei do Quadrado-Cubo aplicada. Na biologia e engenharia, entender como área e volume crescem em ritmos diferentes é crucial. Se você dobrar o tamanho de um animal (raio x 2), sua pele (área) cresce 4 vezes, mas seu peso (volume) cresce 8 vezes. Por isso, formigas gigantes de filmes cairiam sob o próprio peso: as pernas (área de seção transversal) não aguentariam o volume cúbico.
