Um parque tem dois circuitos de tamanhos diferentes para corridas. Um corredor treina nesse parque e, no primeiro dia, inicia seu treino percorrendo
3 voltas em torno do circuito maior e 2 voltas em torno do menor, perfazendo um total de 1 800 m. Em seguida, dando continuidade a seu treino, corre mais 2 voltas em torno do circuito maior e 1 volta em torno do menor, percorrendo mais 1 100 m.
No segundo dia, ele pretende percorrer 5 000 m nos circuitos do parque, fazendo um número inteiro de voltas em torno deles e de modo que o número de voltas seja o maior possível.
A soma do número de voltas em torno dos dois circuitos, no segundo dia, será
A) 10
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Sistemas Lineares de 1º Grau, Equações Diofantinas (Soluções Inteiras) e Otimização Linear Simples.
Tema/Objetivo Geral
Modelagem matemática de situações reais e maximização de resultados sob restrições numéricas.
Nível da Questão: Médio.
- A questão exige modelar um sistema linear para descobrir dados ocultos e, depois, otimizar uma equação inteira para encontrar a maior soma possível, indo além do cálculo mecânico.
Gabarito: Alternativa E.
- Ao descobrir que as pistas medem 400m e 300m, a combinação que percorre 5.000m maximizando o número de voltas é fazer 2 voltas na maior e 14 na menor, totalizando 16 voltas.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo
A questão pede que calculemos o comprimento de duas pistas de corrida distintas usando dados de treinos passados. Depois, devemos descobrir uma combinação de voltas inteiras nessas pistas que some exatos 5.000 metros, com a condição específica de que a quantidade total de voltas seja a maior possível.
Simplificação Radical (A Analogia Central)
Imagine que você precisa encher um balde de capacidade exata (5.000 ml) usando dois copos de tamanhos diferentes: um grande e um pequeno. O desafio é encher o balde até a boca usando o maior número possível de copadas.
A lógica é simples: se você quer dar mais copadas, deve usar o copo pequeno o máximo que puder. Só usará o copo grande se for estritamente necessário para fechar a conta exata.
Plano de Ataque
- Encontrar as Medidas: Transformar os treinos do Dia 1 em um sistema de equações para achar o tamanho das pistas.
- Estabelecer a Meta: Criar a equação do Dia 2 para os 5.000 metros.
- Otimizar a Solução: Testar valores inteiros priorizando a pista menor para maximizar o total de voltas.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para organizar nosso raciocínio, utilizaremos uma Ficha Técnica de Estratégia Matemática.
Ficha Técnica: Ferramentas de Resolução
| Ferramenta | Onde Aplicar | Como Funciona (O Segredo) |
| Sistema Linear (2×2) | Na descoberta do tamanho das pistas (Maior e Menor). | Cruzamos duas informações distintas (Dia 1, Treino A e Treino B) para isolar e descobrir os valores desconhecidos. |
| Equação Diofantina | Na análise do treino de 5.000m. | É uma equação onde só aceitamos respostas em números inteiros (não existe meia volta). Resolvemos por tentativas inteligentes. |
| Princípio da Maximização | Na escolha da resposta final. | Em uma soma fixa, para maximizar a quantidade total de itens, devemos sempre priorizar o item de menor valor unitário. |
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos executar o plano seguindo a lógica da nossa Ficha Técnica.
Etapa 1: A Investigação das Pistas (Sistema Linear)
Vamos chamar o comprimento do Circuito Maior de M e do Circuito Menor de m.
Temos dois dados do primeiro dia:
- 3 voltas em M + 2 voltas em m = 1.800 metros.
- 2 voltas em M + 1 volta em m = 1.100 metros.
Montamos o sistema:
I) 3M + 2m = 1800
II) 2M + 1m = 1100
Estratégia de Resolução: Isolando o m na equação (II), temos:
m = 1100 – 2M
Substituímos isso na equação (I):
3M + 2(1100 – 2M) = 1800
3M + 2200 – 4M = 1800
-M = 1800 – 2200
-M = -400
M = 400 metros
Agora voltamos para achar o m:
m = 1100 – 2(400)
m = 1100 – 800
m = 300 metros
Etapa 2: A Equação da Meta
No segundo dia, o objetivo é percorrer 5.000 m.
Sendo x o número de voltas na pista Maior (400) e y o número de voltas na Menor (300):
400x + 300y = 5000
Simplificando tudo por 100 para facilitar o cálculo mental:
Equação Base: 4x + 3y = 50
Etapa 3: A Otimização (O Pulo do Gato)
Queremos o MÁXIMO de voltas (x + y).
Pela nossa analogia dos copos, devemos usar o máximo de voltas na pista de 300m (y) e o mínimo na de 400m (x).
Vamos testar o valor de x (pista maior) começando do zero e subindo:
- Teste 1: x = 0
4(0) + 3y = 50. Logo, 3y = 50. (Não dá divisão exata por 3). - Teste 2: x = 1
4(1) + 3y = 50. Logo, 3y = 46. (Não dá divisão exata por 3). - Teste 3: x = 2
4(2) + 3y = 50.
8 + 3y = 50.
3y = 42.
y = 14. (Divisão exata!).
Resultado encontrado: 2 voltas na maior e 14 na menor.
Total de voltas: 2 + 14 = 16 voltas.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
O aluno pode encontrar outra solução válida e parar por aí. Se continuássemos testando valores maiores para x, acharíamos:
Para x = 5: 20 + 3y = 50. Logo, 3y = 30 e y = 10.
Total de voltas: 5 + 10 = 15.
Esta solução é matematicamente válida para a distância (dá 5.000m), mas resulta em menos voltas (15 é menor que 16). Como o enunciado pediu o máximo, essa resposta estaria errada.
Bússola (Síntese do Raciocínio)
Temos pistas de 400m e 300m. Minimizamos o uso da pista grande (apenas 2 voltas) para maximizar o uso da pequena (14 voltas), resultando em 16 voltas totais.
Expectativa: Procurar a alternativa que indica 16.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
- A) 10
Diagnóstico do Erro: Fuga à Lógica Numérica.
Para que 5.000 metros fossem percorridos em apenas 10 voltas, a média por volta seria de 500 metros. Como a maior pista tem apenas 400 metros, isso é fisicamente impossível dentro das regras do problema.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta. - B) 13
Diagnóstico do Erro: Cálculo Aleatório / Chute.
Não existe combinação de inteiros positivos para a equação 4x + 3y = 50 que resulte em uma soma de 13 voltas. É um número solto apenas para confundir.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta. - C) 14
Diagnóstico do Erro: Otimização Inversa (Minimização).
Se o aluno tentasse usar o máximo de voltas na pista grande (x=8), teria: 32 + 3y = 50, resultando em y = 6. A soma seria 8 + 6 = 14. Isso resolve a distância, mas entrega o menor número de voltas possível, exatamente o oposto do que foi pedido.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta. - D) 15
Diagnóstico do Erro: Solução Válida Não-Otimizada.
Como vimos no bloco de Armadilha, a combinação de 5 voltas na maior e 10 na menor resulta em 15 voltas totais e perfaz os 5.000m. O erro aqui é parar na primeira solução encontrada sem verificar se ela é a máxima.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta. - E) 16
Análise de Correspondência:
Esta opção reflete a combinação otimizada onde minimizamos a pista de 400m (2 voltas) e maximizamos a de 300m (14 voltas). A soma 2 + 14 = 16 atende ao critério de “maior número possível”.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento
Para maximizar a quantidade de voltas em uma distância fixa, a estratégia vencedora é sempre priorizar o circuito de menor comprimento, usando o maior apenas para ajustes finos.
Resumo-flash
“Para o total de passos aumentar, o passo curto você deve priorizar.”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro)
O raciocínio utilizado aqui é a base do Problema do Troco (Change-making problem) na computação. Quando um caixa eletrônico precisa te dar 100 reais com o menor número de notas, ele usa notas grandes. Se ele quisesse te dar o maior número de notas (como fizemos aqui), ele priorizaria as notas de menor valor. Essa lógica de “troca entre quantidade e valor unitário” é fundamental em logística e economia.
