A Ecofont possui design baseado na velha fonte Vera Sans. Porém, ela tem um diferencial: pequenos
buraquinhos circulares congruentes, e em todo o seu corpo, presentes em cada símbolo. Esses furos proporcionam um gasto de tinta menor na hora da impressão.
Suponha que a palavra ECO esteja escrita nessa fonte, com tamanho 192, e que seja composta por letras formadas por quadrados de lados x com furos circulares de raio r= x/3 Para que a área a ser pintada seja reduzida a 1/16 da área inicial, pretende-se reduzir o tamanho da fonte. Sabe-se que, ao alterar o tamanho da fonte, o tamanho da letra é alterado na mesma proporção.
Nessas condições, o tamanho adequado da fonte será
A) 64.
B) 48.
C) 24.
D) 21.
E) 12
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Geometria Plana (Áreas e Escalas), Razão e Proporção.
Tema/Objetivo Geral
Compreender a relação entre a variação linear (tamanho, lado, altura) e a variação superficial (área) de uma figura geométrica.
Nível da Questão: Médio.
- Embora a conta final seja uma divisão simples, o conceito físico-matemático por trás (relação quadrática entre escala e área) derruba a maioria dos candidatos desatentos.
Gabarito: A alternativa correta é a Letra B.
- Para reduzir a área para 1/16, devemos reduzir o tamanho linear (a fonte) para a raiz quadrada dessa proporção, ou seja, 1/4. Logo, 192 / 4 = 48.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A questão te dá o tamanho atual de uma letra (tamanho de fonte 192) e diz que quer economizar tinta reduzindo a área pintada para apenas 1/16 da área original. Ela pergunta qual deve ser o novo tamanho da fonte para atingir essa meta de área.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine uma TV.
Se você tem uma TV gigante e quer trocar por uma que tenha metade da largura e metade da altura, a área da tela não cai pela metade. Ela cai para um quarto (1/2 x 1/2 = 1/4).
Aqui é o inverso: Sabemos o quanto a área caiu (ficou 16 vezes menor) e queremos descobrir o quanto a “altura” (tamanho da fonte) precisa diminuir.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- Entender a Regra de Ouro: Lembrar que Área não muda na mesma velocidade que o Comprimento.
- Calcular o Fator de Redução Linear: Tirar a raiz quadrada da redução da área.
- Aplicar ao Tamanho da Fonte: Dividir o tamanho 192 pelo fator encontrado.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Vamos usar o Diálogo Mentor-Aluno para desarmar a pegadinha conceitual antes de calcular.
Diálogo Mentor-Aluno
Aluno: Mestre, a questão parece fácil demais. Se a área reduziu para 1/16, eu não deveria apenas dividir o tamanho 192 por 16?
Detetive: Alto lá! Esse é o instinto que te leva ao erro. Pense comigo: O tamanho da fonte é uma medida Linear (uma linha, uma altura), certo? Digamos, em centímetros ou pixels.
Aluno: Certo.
Detetive: Mas a tinta cobre uma Área (cm² ou pixels²). A matemática diz que Área = Lado x Lado. Se você reduzir o lado pela metade (1/2), a área reduz (1/2) x (1/2) = 1/4.
Aluno: Entendi… A área diminui “ao quadrado” do que acontece com o lado.
Detetive: Exato! E aqui temos o caminho inverso. A questão nos deu a redução da ÁREA (1/16) e quer saber a redução do LADO (Tamanho da Fonte). Qual é o contrário de elevar ao quadrado?
Aluno: Tirar a raiz quadrada!
Detetive: Brilhante. Então, se a área ficou 1/16 do que era, o tamanho linear será a raiz quadrada de 1/16. Vamos calcular isso.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Agora que a lógica está blindada, vamos aos números.
1. Identificando a Razão de Semelhança de Áreas (k²)
A questão afirma que a nova área deve ser 1/16 da área inicial.
k² = 1/16
2. Encontrando a Razão de Semelhança Linear (k)
Para descobrir o fator de redução do tamanho da fonte (que é uma medida linear), tiramos a raiz quadrada da razão das áreas.
k = Raiz Quadrada de (1/16)
k = 1 / 4
Interpretação: Isso significa que o novo tamanho da fonte deve ser um quarto do tamanho original.
3. Calculando o Novo Tamanho
Tamanho Inicial = 192
Fator de Redução = dividir por 4 (ou multiplicar por 1/4).
Novo Tamanho = 192 / 4
Cálculo mental rápido:
Metade de 192 é 96.
Metade de 96 é 48.
Resultado: O novo tamanho deve ser 48.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
O erro fatal aqui é ignorar a diferença entre dimensões (1D vs 2D). O candidato apressado lê “reduzida a 1/16” e divide 192 diretamente por 16, encontrando 12 (Alternativa E). O examinador colocou essa alternativa lá propositalmente para quem não sabe geometria de escala.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: A área variou numa razão quadrática (1/16). Logo, o comprimento varia numa razão linear (raiz de 1/16 = 1/4).
- Expectativa: Dividir 192 por 4.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Vamos analisar quem sobrevive ao nosso teste de escala.
Alternativa (A): 64.
O Diagnóstico do Erro: Erro de cálculo ou fator incorreto. O aluno pode ter dividido por 3 em vez de 4.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
Alternativa (B): 48.
Análise de Correspondência: Perfeito. Representa exatamente 1/4 do tamanho original, o que gera 1/16 da área original.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
Alternativa (C): 24.
O Diagnóstico do Erro: Divisão por 8. Talvez o aluno tenha tentado achar um meio termo entre dividir por 4 e 16, ou confundido com volume (raiz cúbica seria outra história).
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
Alternativa (D): 21.
O Diagnóstico do Erro: Número Aleatório. Não possui relação direta de proporção óbvia com 192 nas potências de 2.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
Alternativa (E): 12.
O Diagnóstico do Erro: A Armadilha da Linearidade. O aluno dividiu 192 diretamente por 16 (192 / 16 = 12). Ele aplicou a redução de área diretamente na medida linear. É o erro mais comum.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta é a Alternativa B.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Se a Área é o quadrado do Lado, o Lado é a Raiz da Área. Raiz de 1/16 é 1/4.”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Esse princípio vale para tudo.
- Biologia: Por que não existem formigas gigantes? Porque se você aumenta o tamanho de uma formiga 10x, o peso dela (Volume) aumenta 1000x (
10^3), mas a força das pernas (Área da seção transversal do músculo) só aumenta 100x (10^2). Ela colapsaria sob o próprio peso. A Lei Quadrado-Cubo governa o universo das escalas!
