Questão 173, caderno azul do ENEM 2019 – DIA 2

Em um determinado ano, os computadores da receita federal de um país identificaram como inconsistentes 20% das declarações de imposto de renda que lhe foram encaminhadas.

Uma declaração é classificada como inconsistente quando apresenta algum tipo de erro ou conflito nas informações prestadas. Essas declarações consideradas inconsistentes foram analisadas pelos auditores, que constataram que 25% delas eram fraudulentas.

Constatou-se, ainda, que, dentre as declarações que não apresentaram inconsistências, 6,25% eram fraudulentas.

Qual é a probabilidade de, nesse ano, a declaração de um contribuinte ser considerada inconsistente, dado que ela era fraudulenta?

A) 0,0500

B) 0,1000

C) 0,1125

D) 0,3125

E) 0,5000

✍ Resolução Em Texto

Matérias Necessárias para a Solução da Questão:

Probabilidade Condicional.
Porcentagem e Árvore de Probabilidades.

Tema/Objetivo Geral:

Cálculo de probabilidade condicional (P(A∣B)), exigindo a montagem do espaço amostral total (casos favoráveis + casos desfavoráveis) e a aplicação da fórmula ou lógica de subconjuntos.

Nível da Questão: Médio.

A questão exige a organização de múltiplas porcentagens condicionais que se ramificam (Inconsistente → Fraudulenta; Consistente → Fraudulenta). O aluno precisa calcular o “Total de Fraudulentas” somando dois caminhos distintos antes de fazer a divisão final. O erro comum é confundir P(Fraudulenta∣Inconsistente) com P(Inconsistente∣Fraudulenta).

Gabarito: E.

Resumo:
- Caminho 1 (Inconsistente e Fraudulenta): 0,20×0,25=0,05.
- Caminho 2 (Consistente e Fraudulenta): 0,80×0,0625=0,05.
- Total de Fraudulentas = 0,05+0,05=0,10.
- Probabilidade Condicional = (Inconsistentes e Fraudulentas) / (Total de Fraudulentas) = 0,05/0,10=0,5.

1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)

Decodificação do Objetivo:
A questão quer que a gente calcule a chance de uma declaração ter sido marcada como “Inconsistente” (com erro), sabendo-se que ela era, de fato, “Fraudulenta” (roubo).
Isso é uma Probabilidade Condicional. O nosso universo não são todas as declarações, mas apenas as Fraudulentas.

Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine uma cidade com 100 habitantes.

Alguns moram no Bairro A (Inconsistentes), outros no Bairro B (Consistentes).

Em ambos os bairros, existem “ladrões” (Fraudulentas).

A polícia prendeu um ladrão. A pergunta é: Qual a chance de ele morar no Bairro A?
Para responder, precisamos saber quantos ladrões moram no Bairro A e quantos ladrões existem na cidade inteira.

Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):

Calcular a porcentagem de ladrões do Bairro A (Inconsistentes Fraudulentas).
Calcular a porcentagem de ladrões do Bairro B (Consistentes Fraudulentas).
Somar tudo para achar o total de ladrões.
Dividir os ladrões do Bairro A pelo total de ladrões.

2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)

Ferramenta 1: Árvore de Probabilidades
Vamos ramificar o problema:

Total (100%) se divide em: Inconsistentes (20%) e Consistentes (80%).
Cada ramo se divide de novo:
- Inconsistentes → Fraudulentas (25%).
- Consistentes → Fraudulentas (6,25%).

Ferramenta 2: Fórmula da Condicional

Probabilidade (Ser A dado que e B) = (A e B juntos) / (Total de B).

Traduzindo: Probabilidade = (Fraudulentas E Inconsistentes) / (Total de Fraudulentas).

3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)

Vamos usar um número fictício para facilitar (Método dos 10.000 casos):
Imagine que temos 10.000 declarações.

Passo A: Separando os Grupos Iniciais

Inconsistentes (20%): 20% de 10.000=2.000 declarações.
Consistentes (Resto = 80%): 80% de 10.000=8.000 declarações.

Passo B: Caçando as Fraudes (Os Casos de Interesse)
Agora vamos ver quantas fraudes existem em cada grupo:

No Grupo Inconsistente:
- O texto diz que 25% delas são fraudulentas.
- 25% de 2.000=0,25×2000=500 fraudes.
No Grupo Consistente:
- O texto diz que 6,25% delas são fraudulentas.
- 6,25% de 8.000=0,0625×8000.
- Dica de cálculo: 6,25% é o mesmo que 1/16. Ou faça: 6,25×80=500.
- Total: 500 fraudes.

Passo C: O Universo das Fraudes
Quantas declarações fraudulentas existem no total?
Total de Fraudes = 500 (do grupo inconsistente) + 500 (do grupo consistente) = 1.000 fraudes.

Passo D: A Pergunta Final
“Dado que é fraudulenta (estamos olhando para as 1.000), qual a chance de ser inconsistente?”
Quantas das 1.000 fraudes vieram do grupo inconsistente? 500.

Probabilidade=1.000500=21=0,5 Ou 50%.

🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro comum é calcular apenas a primeira parte (0,20×0,25=0,05) e achar que a resposta é 5% (Alternativa A).
Isso seria a probabilidade de pegar uma declaração qualquer e ela ser “inconsistente e fraudulenta”.
Mas a pergunta tem uma condição: “dado que ela era fraudulenta”. Isso muda o denominador! Você não divide pelo total de declarações (10.000), divide pelo total de fraudes (1.000).

A Bússola (O Perfil do Culpado):

Síntese do raciocínio: Metade das fraudes veio de um lugar, metade do outro. Logo, a chance de ter vindo do primeiro lugar é 50%.
Expectativa: 0,5 ou 0,5000.

4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)

A) 0,0500.
- O Diagnóstico do Erro: Esquecimento da Condicional.
- Por que está incorreta: Esse é o valor da probabilidade conjunta (P(Inconsistente∩Fraudulenta)=0,05). O aluno calculou a chance de uma declaração aleatória ser as duas coisas, sem restringir o universo às fraudulentas.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 0,1000.
- O Diagnóstico do Erro: Cálculo do Total.
- Por que está incorreta: Esse é o valor da probabilidade total de ser fraudulenta (0,05+0,05=0,10). O aluno achou o denominador correto, mas marcou ele como resposta.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 0,1125.
- O Diagnóstico do Erro: Salada de Números.
- Por que está incorreta: Talvez uma soma direta das porcentagens (0,05+0,0625) ou outro erro aritmético sem lógica estatística.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 0,3125.
- O Diagnóstico do Erro: Soma Simples.
- Por que está incorreta: Soma direta de 25% + 6,25%? Não faz sentido probabilístico.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 0,5000.
- Análise de Correspondência: Perfeito. O cálculo 0,05/0,10 resulta exatamente em 0,5. Metade das fraudes são inconsistentes.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.

5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)

Frase de Fechamento:
A probabilidade condicional ajusta nosso foco: ao restringirmos o universo apenas às declarações fraudulentas, descobrimos que exatamente metade delas (0,05 do total global) provém do grupo das inconsistentes e a outra metade (0,05) das consistentes, resultando em uma chance de 50% (Alternativa E).

Resumo-flash (A Imagem Mental):
🕵️‍♂️ Fraudes: 500 “sujas” + 500 “limpas” = 1000 Total.
🎯 Alvo: As 500 “sujas”.
➗ Conta: 500 / 1000 = Meio a Meio.

🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Conexão com Testes Médicos (O Paradoxo do Falso Positivo):
Este problema é idêntico ao cálculo de eficácia de exames.

Consistente = Teste Negativo.
Muitas vezes, um teste dá positivo (inconsistente), mas a pessoa não está doente (não é fraude). Ou o teste dá negativo (consistente), mas a pessoa está doente (fraude oculta). O Teorema de Bayes, que usamos aqui intuitivamente, é a ferramenta vital para médicos decidirem se operam ou não um paciente com base em um exame imperfeito.

Inconsistente = Teste Positivo.

Fraudulenta = Doente.