Charles Richter e Beno Gutenberg desenvolveram a escala Richter, que mede a magnitude de um terremoto.
Essa escala pode variar de 0 a 10, com possibilidades de valores maiores.
O quadro mostra a escala de magnitude local (Ms) de um terremoto que é utilizada para descrevê-lo.
Para se calcular a magnitude local, usa-se a fórmula Ms = 3,30 + log(A.f), em que A representa a amplitude máxima da onda registrada por um sismógrafo em micrômetro (um) e f representa a frequência da onda, em hertz (Hz).
Ocorreu um terremoto com amplitude máxima de 2 000 μm e frequência de 0,2 Hz.
Disponível em: http://cejarj.cecierj.edu.br. Acesso em: 1 fev. 2015 (adaptado).
Utilize 0,3 como aproximação para log 2. De acordo com os dados fornecidos, o terremoto ocorrido pode ser descrito como
A) pequeno.
B) ligeiro.
C) moderado.
D) grande.
E) extremo.
✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Matemática: Função Logarítmica e Propriedades de Logaritmos.
- Matemática: Substituição Numérica em Equações.
Tema/Objetivo Geral:
- Aplicação de uma fórmula científica (Magnitude de Terremotos) que envolve logaritmos, substituindo valores físicos e usando propriedades operatórias para encontrar o resultado numérico e classificá-lo.
Nível da Questão: Médio.
- A questão exige dois conhecimentos chave: 1) Substituir corretamente os valores na fórmula; 2) Manipular o logaritmo de um produto e potências de 10. O “pulo do gato” é perceber que 400 pode ser escrito como 4 x 100 e que 4 é igual a 2 ao quadrado, permitindo usar a aproximação dada para log(2).
Gabarito: C.
- Ms = 3,30 + log(2000 x 0,2) = 3,30 + log(400).
- log(400) = log(4 x 100) = log(2²) + log(10²) = 2 x 0,3 + 2 = 2,6.
- Ms = 3,30 + 2,60 = 5,90.
- Na tabela de classificação, o valor 5,9 classifica-se como Moderado.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A questão nos dá uma “máquina de calcular terremotos” (a fórmula com logaritmo). Ela fornece os “ingredientes” (amplitude e frequência) e pede que a gente descubra a “potência” final do terremoto (Magnitude Ms). Depois de calcular o número, precisamos olhar para uma tabela de classificação e dar o nome correto a esse terremoto.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que você tem uma receita de bolo que diz: “Doçura = 3,30 + log(Açúcar x Farinha)”.
Você recebe as quantidades de açúcar (2000) e farinha (0,2).
Sua missão é fazer a conta e dizer se o bolo ficou “Doce”, “Muito Doce” ou “Extremamente Doce”.
A única dificuldade é que a conta envolve Logaritmo, uma ferramenta matemática que transforma números grandes em pequenos (contando seus zeros).
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- Substituir os valores de A e f na fórmula dada.
- Resolver a multiplicação dentro do parênteses.
- Calcular o logaritmo do resultado usando as propriedades (transformar multiplicação em soma).
- Somar o resultado final e classificar o terremoto.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
A Fórmula:
- Ms = 3,30 + log(A . f)
Propriedades de Logaritmo (Nossas Chaves Mestras):
- Log do Produto: log(X . Y) = log(X) + log(Y).
- Log da Potência: log(X elevado a n) = n . log(X).
- Log de 10: log(10) = 1; log(100) = 2 (conta-se os zeros).
Dados:
- A = 2000.
- f = 0,2.
- log(2) = 0,3.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos executar o cálculo:
Etapa 1: A Multiplicação Simples
Dentro do logaritmo temos A vezes f.
- 2000 x 0,2 = 400.
Então a fórmula fica: - Ms = 3,30 + log(400).
Etapa 2: Quebrando o Logaritmo (O Segredo)
Precisamos calcular log(400). Não sabemos de cabeça, mas sabemos log(2) e log(10).
Vamos reescrever 400 usando apenas 2 e 10.
- 400 = 4 x 100
- 400 = (2 elevado a 2) x (10 elevado a 2)
Aplicando o logaritmo:
- log(400) = log(2² x 10²)
- log(400) = log(2²) + log(10²) -> (Regra do Produto: vira soma)
- log(400) = 2 . log(2) + 2 . log(10) -> (Regra do Tombo: o expoente cai multiplicando)
Etapa 3: Substituindo os Valores
Sabemos que log(2) = 0,3 e log(10) = 1.
- log(400) = 2 . (0,3) + 2 . (1)
- log(400) = 0,6 + 2
- log(400) = 2,6
Etapa 4: O Resultado Final
Voltamos à fórmula original:
- Ms = 3,30 + 2,6
- Ms = 5,9
Etapa 5: A Classificação
O valor encontrado é 5,9.
Consultando a tabela da questão (onde Moderado vai de 5,0 a 5,9), nosso terremoto é classificado como Moderado.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum é na multiplicação inicial.
Muitos alunos fazem 2000 x 0,2 = 4000 (esquecendo a casa decimal) ou erram a propriedade do logaritmo (achando que log da multiplicação é log vezes log). A propriedade correta transforma multiplicação em soma.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Calculamos log(400) como 2,6. Somamos a 3,30 e obtivemos 5,9.
- Expectativa: Classificação “Moderado”.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
- A) pequeno.
- O Diagnóstico do Erro: Erro de Grandeza.
- Cenário: O aluno pode ter errado feio no logaritmo, achando um valor negativo ou muito baixo.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- B) ligeiro.
- O Diagnóstico do Erro: Erro na soma do Log.
- Cenário: Se o aluno calculou log(400) como apenas 1,6 (esquecendo um fator), daria 3,3 + 1,6 = 4,9.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- C) moderado.
- Análise de Correspondência: Perfeito. O cálculo exato leva a 5,9, que é o teto da categoria Moderado.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
- D) grande.
- O Diagnóstico do Erro: Erro de Multiplicação.
- Cenário: Se o aluno fez 2000 x 2 = 4000 (ignorando o 0,2), acharia log(4000) = 3,6. Somando: 3,3 + 3,6 = 6,9 (Grande). Um erro de vírgula muda a categoria!
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- E) extremo.
- O Diagnóstico do Erro: Erro Conceitual Grave.
- Cenário: Somar valores aleatórios ou multiplicar o logaritmo incorretamente.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
Logaritmos são a balança que pesa números gigantes: ao transformar a multiplicação de amplitude e frequência em uma soma simples de expoentes, descobrimos que o terremoto atinge magnitude 5,9, classificando-se como Moderado (Alternativa C).
Resumo-flash (A Imagem Mental):
🔢 2000 x 0,2 = 400.
🪵 Log(400): Dois zeros (2) + Log de 4 (0,6) = 2,6.
➕ Soma: 3,3 + 2,6 = 5,9.
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Conexão com a Música (Escalas Musicais):
A escala Richter é logarítmica, assim como a nossa audição!
A diferença entre uma nota Dó e o próximo Dó (uma oitava) é uma duplicação da frequência (f para 2f). Mas nosso ouvido percebe isso como “um degrau” igual na escada musical. Nosso cérebro é uma máquina de calcular logaritmos: ele transforma multiplicações físicas (intensidade do som, brilho da luz, tremor de terra) em somas sensoriais (volume, brilho, magnitude).
