Para contratar três máquinas que farão o reparo de vias rurais de um município, a prefeitura elaborou um edital que, entre outras cláusulas, previa:
• Cada empresa interessada só pode cadastrar uma única máquina para concorrer ao edital;
• O total de recursos destinados para contratar o conjunto das três máquinas é de R$ 31 000,00;
• O valor a ser pago a cada empresa será inversamente proporcional à idade de uso da máquina cadastrada pela empresa para o presente edital.
As três empresas vencedoras do edital cadastraram máquinas com 2, 3 e 5 anos de idade de uso.
Quanto receberá a empresa que cadastrou a máquina com maior idade de uso?
A) R$ 3.100,00
B) R$ 6.000,00
C) R$ 6.200,00
D) R$ 15.000,00
E) R$ 15.500,00
✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Matemática: Divisão Proporcional (Grandezas Inversamente Proporcionais).
- Aritmética: Frações e MMC.
Tema/Objetivo Geral:
- Cálculo da parte que cabe a um participante em uma divisão de recursos inversamente proporcional a valores dados.
Nível da Questão: Médio.
- A questão envolve a montagem de uma equação com frações (inversamente proporcional a 2, 3 e 5). O aluno precisa dominar a soma de frações (MMC) para encontrar a constante de proporcionalidade k. Erros aritméticos são comuns nessa etapa.
Gabarito: B.
- Vamos chamar as partes de x, y e z.
- Como é inverso, temos: x = k/2, y = k/3 e z = k/5.
- A soma deve ser total: k/2 + k/3 + k/5 = 31000.
- Fazendo o MMC de 2, 3 e 5, que é 30, temos: (15k + 10k + 6k) / 30 = 31000.
- Somando os k: 31k / 30 = 31000.
- Dividindo 31000 por 31, sobra 1000. Então k / 30 = 1000.
- Logo, k = 30000.
- A máquina mais velha (5 anos) recebe: z = 30000 / 5 = 6000.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A questão pede para repartir um bolo de dinheiro (R$ 31.000) entre três empresas. A regra é: quem tem a máquina mais velha ganha menos (inversamente proporcional). Queremos saber quanto ganha a empresa da máquina mais velha (5 anos).
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que o dinheiro é um prêmio de corrida, mas a regra é bizarra: quem é mais lento (mais velho) ganha uma fatia menor.
Máquina de 2 anos: Ganha fatia grande (proporcional a 1/2).
Máquina de 3 anos: Ganha fatia média (proporcional a 1/3).
Máquina de 5 anos: Ganha fatia pequena (proporcional a 1/5).
O desafio é descobrir o tamanho exato da fatia pequena.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- Definir a constante de proporcionalidade (k).
- Escrever quanto cada empresa ganha em função de k (divisão inversa).
- Somar tudo e igualar ao total (R$ 31.000) para descobrir o valor de k.
- Dividir k pela idade da máquina alvo (5 anos) para achar a resposta.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Conceito de Divisão Inversamente Proporcional:
Se o valor V é inversamente proporcional a N, então:
- V = k / N
Onde k é a constante que precisamos achar.
As Partes do Bolo:
- Empresa A (2 anos): Recebe k / 2.
- Empresa B (3 anos): Recebe k / 3.
- Empresa C (5 anos): Recebe k / 5. (Essa é a nossa meta!)
Equação Mestra:
- (k / 2) + (k / 3) + (k / 5) = 31000
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos resolver a equação com calma.
1. O MMC (Mínimo Múltiplo Comum):
Precisamos somar as frações com denominadores 2, 3 e 5.
Como são todos primos entre si, o MMC é o produto: 2 x 3 x 5 = 30.
2. Ajustando a Equação:
Colocamos tudo sobre 30:
- (15k / 30) + (10k / 30) + (6k / 30) = 31000
3. Somando os Numeradores:
- (15k + 10k + 6k) / 30 = 31000
- 31k / 30 = 31000
4. O Pulo do Gato (Simplificação):
Olhe para os dois lados: tem 31 na esquerda e 31000 na direita. Podemos dividir tudo por 31.
- k / 30 = 1000
- k = 30 x 1000
- k = 30000
5. A Resposta Final:
A questão quer o valor da máquina com maior idade (5 anos).
- Valor = k / 5
- Valor = 30000 / 5
- Valor = 6000
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum é achar o valor de k (30.000) e parar por aí, ou dividir pelo número errado.
Outro erro grave é fazer divisão diretamente proporcional (2k + 3k + 5k), o que daria valores totalmente diferentes. Sempre circule a palavra “inversamente” no enunciado!
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Achamos a constante k = 30.000. A parte inversamente proporcional a 5 é um quinto disso.
- Expectativa: O valor 6.000.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
- A) R$ 3.100,00
- O Diagnóstico do Erro: Erro de Operação.
- Cenário: O aluno pode ter dividido 31.000 pela soma das idades (2+3+5=10), obtendo 3.100, e achado que essa era a resposta (como se fosse uma média simples ou cota única).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- B) R$ 6.000,00
- Análise de Correspondência: Perfeito. É o resultado da divisão da constante de proporcionalidade (30.000) pela idade da máquina mais velha (5).
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
- C) R$ 6.200,00
- O Diagnóstico do Erro: Divisão Direta.
- Cenário: Se a divisão fosse diretamente proporcional:
- Soma das partes: 2 + 3 + 5 = 10.
- Cada parte valeria 31.000 / 10 = 3.100.
- A máquina de 2 anos ganharia 2 x 3.100 = 6.200. (O aluno calculou certo para o modelo errado e para a máquina errada).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- D) R$ 15.000,00
- O Diagnóstico do Erro: Máquina Errada.
- Cenário: O aluno acertou todo o cálculo, achou k = 30.000, mas na hora de responder, calculou para a máquina mais nova (2 anos): 30.000 / 2 = 15.000.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- E) R$ 15.500,00
- O Diagnóstico do Erro: Divisão Direta (Máquina Velha).
- Cenário: Usando proporcionalidade direta (erro de modelo), a máquina de 5 anos ganharia 5 x 3.100 = 15.500. O aluno confundiu “inversamente” com “diretamente”.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
Na divisão inversamente proporcional, “quem tem mais (idade), ganha menos (reais)”: ao distribuirmos a constante de R
Entre os denominadores, a máquina mais velha ficou com a menor fatia do bolo, totalizando 6.000,00 (Alternativa B).Resumo-flash (A Imagem Mental):
🍰 Bolo Total: 31k.
👴 Velhinho (5 anos): Pedaço pequeno (1/5 de K = 6k).
👶 Novinho (2 anos): Pedaço grande (1/2 de K = 15k).
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Conexão com a Física (Resistores em Paralelo):
A matemática usada aqui é idêntica ao cálculo de Corrente em Resistores em Paralelo.
Se você tem resistores de 2, 3 e 5 Ohms ligados em paralelo, a corrente se divide de forma inversamente proporcional à resistência (Lei de Ohm: i = V/R). O resistor maior (5 Ohms) recebe a menor corrente, exatamente como a máquina mais velha recebeu o menor valor. A matemática é a mesma linguagem para dinheiro e elétrons!
