Enquanto um ser está vivo, a quantidade de carbono 14 nele existente não se altera. Quando ele morre, essa quantidade vai diminuindo. Sabe-se que a meia-vida do carbono 14 é de 5 730 anos, ou seja, num fóssil de um organismo que morreu há 5 730 anos haverá metade do carbono 14 que existia quando ele estava vivo. Assim, cientistas e arqueólogos usam a seguinte fórmula para saber a idade de um fóssil encontrado: Q(t) = Q0 . 2-t/5730 em que t é o tempo, medido em ano, Q(t) é a quantidade de carbono 14 medida no instante t e Q0 é a quantidade de carbono 14 no ser vivo correspondente.
Um grupo de arqueólogos, numa de suas expedições, encontrou 5 fósseis de espécies conhecidas e mediram a quantidade de carbono 14 neles existente. Na tabela temos esses valores juntamente com a quantidade de carbono 14 nas referidas espécies vivas. B.
O fóssil mais antigo encontrado nessa expedição foi
A) 1.
B) 2.
C) 3.
D) 4.
E) 5.
Resolução Em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática (Função Exponencial, Logaritmos ou Análise de Potências)
- Química/Física (Decaimento Radioativo, Meia-vida)
- Análise de Tabelas
🎯 Tema/Objetivo Geral
Determinação da idade relativa de fósseis através da análise do decaimento radioativo do Carbono-14, identificando o fóssil mais antigo pela maior quantidade de meias-vidas decorridas.
📊 Nível da Questão
Médio.
Por quê? A questão não exige um cálculo exato da idade, mas sim uma comparação para determinar qual fóssil é o mais antigo. Isso pode ser feito de forma mais intuitiva, analisando quantas vezes a quantidade inicial (Q₀) foi dividida por 2 para chegar à quantidade final (Q(t)). No entanto, isso requer uma boa familiaridade com potências de 2.
✅ Gabarito
Alternativa B.
Resumo: O fóssil mais antigo é aquele que sofreu o maior número de decaimentos, ou seja, aquele em que a quantidade final de Carbono-14 é a menor fração da quantidade inicial. Analisando a razão Q(t)/Q₀ para cada fóssil, vemos que o fóssil 2 apresenta a menor fração (1/32), o que corresponde ao maior número de meias-vidas (5 meias-vidas), sendo, portanto, o mais antigo.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“O fóssil mais antigo encontrado nessa expedição foi”
O que está sendo pedido?
A questão nos pede para comparar os 5 fósseis e determinar qual deles tem a maior idade.
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é encontrar uma maneira de comparar a “idade” de cada fóssil. A idade está diretamente relacionada a quanto do Carbono-14 original já decaiu. Portanto, o fóssil mais antigo será aquele em que a quantidade final (Q(t)) é a menor fração possível da quantidade inicial (Q₀).
🧠 Se você tem dois bolos do mesmo tamanho e um deles tem apenas um pequeno pedaço sobrando, enquanto o outro tem metade, qual deles começou a ser comido há mais tempo? A lógica com o decaimento radioativo é a mesma!
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Decaimento Radioativo: Processo pelo qual um isótopo instável (como o Carbono-14) se transforma em outro, emitindo radiação. Esse processo ocorre a uma taxa constante.
- Meia-vida (t₁/₂): É o tempo necessário para que metade da quantidade de um isótopo radioativo em uma amostra decaia. Para o Carbono-14, a meia-vida é de 5.730 anos.
- Fórmula do Decaimento: A fórmula dada Q(t) = Q₀ ∙ 2^(-t/5730) é uma forma de expressar o decaimento. Podemos reescrevê-la para entender melhor:
Q(t) / Q₀ = (1/2)^(t/5730)
Nesta forma, t/5730 representa o número de meias-vidas (n) que se passaram. Então, Q(t) = Q₀ ∙ (1/2)^n. - Idade e Quantidade Restante: Quanto mais antigo o fóssil, mais tempo se passou (maior t), maior o número de meias-vidas (n) e menor a quantidade de Carbono-14 restante (menor Q(t) em relação a Q₀).
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Imagine que cada ser vivo começa com uma “bateria” de Carbono-14, de tamanho Q₀. Quando ele morre, essa bateria começa a descarregar. A cada 5.730 anos, a carga da bateria cai pela metade.
A tabela nos dá 5 baterias encontradas (os fósseis) e nos diz qual era a carga inicial (Q₀) e qual é a carga atual (Q(t)) de cada uma.
Para descobrir qual é o fóssil mais antigo, precisamos descobrir qual “bateria” está mais descarregada. A bateria mais descarregada é aquela que passou por mais “ciclos de queda pela metade” (mais meias-vidas).
Nossa missão é, para cada fóssil, descobrir quantas vezes precisamos dividir a carga inicial (Q₀) por 2 para chegar na carga atual (Q(t)). Quem tiver o maior número de divisões é o mais antigo.
Estratégia Geral 🗺️
Para cada fóssil, vamos calcular a razão Q(t) / Q₀ para ver qual fração do Carbono-14 original ainda resta. O fóssil com a menor fração será o mais antigo. Alternativamente, podemos contar o número de meias-vidas (n) para cada um, onde Q(t) = Q₀ / 2^n.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
Vamos analisar cada fóssil para encontrar o número de meias-vidas (n) que se passaram.
- Fóssil 1:
- Q₀ = 128
- Q(t) = 32
- Relação: 32 / 128 = 1 / 4.
- Como 1/4 = (1/2)², se passaram 2 meias-vidas.
- Fóssil 2:
- Q₀ = 256
- Q(t) = 8
- Relação: 8 / 256 = 1 / 32.
- Como 32 = 2⁵, temos 1/32 = (1/2)⁵. Se passaram 5 meias-vidas.
- Fóssil 3:
- Q₀ = 512
- Q(t) = 64
- Relação: 64 / 512 = 1 / 8.
- Como 8 = 2³, temos 1/8 = (1/2)³. Se passaram 3 meias-vidas.
- Fóssil 4:
- Q₀ = 1024
- Q(t) = 512
- Relação: 512 / 1024 = 1 / 2.
- Como 1/2 = (1/2)¹, se passou 1 meia-vida.
- Fóssil 5:
- Q₀ = 2048
- Q(t) = 128
- Relação: 128 / 2048 = 1 / 16.
- Como 16 = 2⁴, temos 1/16 = (1/2)⁴. Se passaram 4 meias-vidas.
Comparação:
- Fóssil 1: 2 meias-vidas
- Fóssil 2: 5 meias-vidas ← Maior número de meias-vidas
- Fóssil 3: 3 meias-vidas
- Fóssil 4: 1 meia-vida
- Fóssil 5: 4 meias-vidas
Conclusão: O fóssil que passou pelo maior número de meias-vidas é o mais antigo. Portanto, o fóssil 2 é o mais antigo.
A Armadilha Comum 🚨
A armadilha seria olhar apenas para os valores absolutos de Q(t) ou Q₀. Por exemplo, o fóssil 4 tem a maior quantidade final de C-14 (512), mas ele também tinha a segunda maior quantidade inicial, sendo na verdade o mais jovem. O que importa não é o valor absoluto, mas a proporção entre o final e o inicial.
Fechamento e Expectativa
A análise nos mostrou que o Fóssil 2 é o mais antigo, com 5 meias-vidas decorridas. Agora, vamos procurar essa resposta nas alternativas.
Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) 1
Incorreta. Passaram-se 2 meias-vidas (idade = 2 x 5730 anos).
🟢 B) 2
Correta. Passaram-se 5 meias-vidas (idade = 5 x 5730 anos), sendo o mais antigo.
🔴 C) 3
Incorreta. Passaram-se 3 meias-vidas (idade = 3 x 5730 anos).
🔴 D) 4
Incorreta. Passou-se 1 meia-vida (idade = 5730 anos), sendo o mais jovem.
🔴 E) 5
Incorreta. Passaram-se 4 meias-vidas (idade = 4 x 5730 anos).
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
Para determinar qual fóssil é o mais antigo, é necessário calcular o número de meias-vidas que se passaram para cada um. O fóssil mais antigo será aquele com o maior número de meias-vidas. O número de meias-vidas (n) é determinado pela relação Q(t) = Q₀ ∙ (1/2)^n. Ao analisar a razão Q(t)/Q₀ para cada um dos cinco fósseis, descobrimos o valor de n: Fóssil 1 (n=2), Fóssil 2 (n=5), Fóssil 3 (n=3), Fóssil 4 (n=1) e Fóssil 5 (n=4). Como o Fóssil 2 apresenta o maior número de meias-vidas decorridas (n=5), ele é o mais antigo da expedição.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a B.
Resumo Final para Revisão 🔍
Para comparar a idade de fósseis: não olhe para a quantidade final de C-14, mas para a fração que essa quantidade representa do total inicial. Quanto menor a fração, mais velho o fóssil.
