Um hotel de 3 andares está sendo construído. Cada andar terá 100 quartos. Os quartos serão numerados de 100 a 399 e cada um terá seu número afixado à porta. Cada número será composto por peças individuais, cada uma simbolizando um único algarismo.
Qual a quantidade mínima de peças, simbolizando o algarismo 2, necessárias para identificar o número de todos os quartos?
A) 160
B) 157
C) 130
D) 120
E) 60
Resolução Em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática (Análise Combinatória / Princípios de Contagem)
- Aritmética
🎯 Tema/Objetivo Geral
Contagem da frequência de aparição de um algarismo específico (o 2) em um intervalo numérico (de 100 a 399).
📊 Nível da Questão
Médio.
Por quê? A questão pode parecer simples, mas uma contagem direta é propensa a erros. A solução mais segura envolve a análise posicional do algarismo (quantas vezes ele aparece na casa das centenas, das dezenas e das unidades), o que exige um raciocínio sistemático de análise combinatória.
✅ Gabarito
Alternativa A.
Resumo: A contagem é feita separadamente para cada posição do número (centena, dezena, unidade). O algarismo 2 aparece 100 vezes na casa das centenas (nos números de 200 a 299), 30 vezes na casa das dezenas e 30 vezes na casa das unidades, totalizando 100 + 30 + 30 = 160 peças.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Qual a quantidade mínima de peças, simbolizando o algarismo 2, necessárias para identificar o número de todos os quartos?”
O que está sendo pedido?
A questão nos pede para contar quantas vezes o algarismo “2” aparece em todos os números inteiros de 100 a 399.
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é encontrar um método sistemático para contar todas as ocorrências do algarismo 2, sem esquecer nenhuma e sem contar a mesma duas vezes. A melhor forma é analisar cada “casa” do número (centena, dezena, unidade) separadamente.
🧠 O número 222 usa quantas peças do algarismo 2? Três, certo? Se você simplesmente contar os números que contêm o 2, você vai errar. A pergunta é sobre o total de peças, ou seja, a frequência total de aparição do algarismo.
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Algarismo: É um símbolo numérico usado para representar números (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
- Análise Posicional: É a técnica de analisar um problema de contagem dividindo-o em casos, com base na posição que o elemento de interesse ocupa. Para números de 3 dígitos (CDU – Centena, Dezena, Unidade), vamos analisar a frequência do “2” em cada uma dessas três posições.
- Intervalo Numérico: Os números dos quartos vão de 100 a 399. O número total de quartos é 399 – 100 + 1 = 300 quartos, o que bate com a informação de 3 andares com 100 quartos cada.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Imagine que você é o dono de uma fábrica que faz plaquinhas de metal com os números de 0 a 9. Um hotel te encomenda plaquinhas para numerar todos os quartos, de 100 a 399. Para saber quanto material você vai gastar, você precisa saber quantas plaquinhas de cada número serão necessárias. A pergunta foca em um número específico: “Quantas plaquinhas com o número ‘2’ eu vou precisar fabricar?”. Para isso, você precisa pegar a lista de todos os números de 100 a 399 e contar, um por um, quantas vezes o “2” aparece. Mas, em vez de fazer isso na mão, vamos usar a matemática para sermos mais rápidos e precisos.
Estratégia Geral 🗺️
Nossa estratégia será a análise posicional. Vamos dividir o problema em três subproblemas mais fáceis:
- Quantas vezes o “2” aparece na posição das centenas?
- Quantas vezes o “2” aparece na posição das dezenas?
- Quantas vezes o “2” aparece na posição das unidades?
A resposta final será a soma dos resultados desses três subproblemas.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
O intervalo de números é de 100 a 399. Vamos analisar cada posição (Centena, Dezena, Unidade).
1. Contagem do algarismo 2 na Posição das CENTENAS:
- O algarismo 2 aparece na casa das centenas em todos os números que começam com “2”.
- Esses números vão de 200 a 299.
- Para contar quantos números existem nesse intervalo: 299 – 200 + 1 = 100.
- Portanto, o algarismo 2 aparece 100 vezes na posição das centenas.
2. Contagem do algarismo 2 na Posição das DEZENAS:
- Aqui, estamos procurando por números no formato C2U, onde C pode ser 1, 2 ou 3, e U pode ser de 0 a 9.
- Para C = 1 (números de 100 a 199): O 2 aparece na dezena nos números 120, 121, 122, …, 129. São 10 vezes.
- Para C = 2 (números de 200 a 299): O 2 aparece na dezena nos números 220, 221, 222, …, 229. São 10 vezes.
- Para C = 3 (números de 300 a 399): O 2 aparece na dezena nos números 320, 321, 322, …, 329. São 10 vezes.
- Total de vezes na posição das dezenas = 10 + 10 + 10 = 30 vezes.
3. Contagem do algarismo 2 na Posição das UNIDADES:
- Aqui, estamos procurando por números no formato CD2, onde C pode ser 1, 2 ou 3, e D pode ser de 0 a 9.
- Para C = 1 (números de 100 a 199): O 2 aparece na unidade nos números 102, 112, 122, …, 192. Como as dezenas vão de 0 a 9, são 10 vezes.
- Para C = 2 (números de 200 a 299): O 2 aparece na unidade nos números 202, 212, 222, …, 292. São 10 vezes.
- Para C = 3 (números de 300 a 399): O 2 aparece na unidade nos números 302, 312, 322, …, 392. São 10 vezes.
- Total de vezes na posição das unidades = 10 + 10 + 10 = 30 vezes.
4. Soma Total:
- Total de peças “2” = (Nº de vezes na centena) + (Nº de vezes na dezena) + (Nº de vezes na unidade)
- Total = 100 + 30 + 30
- Total = 160
A Armadilha Comum 🚨
A armadilha mais comum é a contagem dupla ou a omissão. Por exemplo, ao contar os números que têm o “2” na dezena (120-129, 220-229, 320-329), o aluno pode se esquecer do número 222 e não contá-lo na hora de analisar a casa das unidades, ou vice-versa. A análise posicional evita esse erro, pois cada “2” do número 222 é contado em sua respectiva posição: um na centena, um na dezena e um na unidade, sem confusão.
Fechamento e Expectativa
O cálculo sistemático nos levou ao resultado de 160 peças. Agora, vamos procurar essa resposta nas alternativas.
Passo 5: Análise das Alternativas
🟢 A) 160
Correta. Corresponde exatamente ao resultado do nosso cálculo (100 na centena + 30 na dezena + 30 na unidade).
🔴 B) 157
Incorreta.
🔴 C) 130
Incorreta. Este seria o resultado se o aluno somasse 100 (centenas) + 30 (dezenas ou unidades), esquecendo uma das posições.
🔴 D) 120
Incorreta.
🔴 E) 60
Incorreta. Este seria o resultado se o aluno contasse apenas as aparições nas dezenas (30) e nas unidades (30), esquecendo completamente a centena.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
Para determinar a quantidade total de peças com o algarismo 2 necessárias para numerar os quartos de 100 a 399, a contagem foi realizada de forma posicional. Analisando a casa das centenas, o algarismo 2 aparece em todos os números de 200 a 299, totalizando 100 ocorrências. Na casa das dezenas, ele aparece 10 vezes em cada centena (120-129, 220-229, 320-329), totalizando 30 ocorrências. De forma análoga, na casa das unidades, ele também aparece 10 vezes em cada centena (102, 112,…; 202, 212,…; 302, 312,…), totalizando outras 30 ocorrências. A soma total de peças “2” necessárias é, portanto, 100 + 30 + 30 = 160.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a A.
Resumo Final para Revisão 🔍
Para contar a frequência de um algarismo em um intervalo, a maneira mais segura é a análise posicional: conte quantas vezes ele aparece em cada casa (unidade, dezena, centena, etc.) e depois some tudo.
