A questão 168 do Enem 2021 (caderno azul, Dia 2) é de Matemática e cobra a planificação de um octaedro. O gabarito é a alternativa E (4 “). Abaixo você confere o enunciado, a resolução passo a passo e por que cada alternativa errada engana tantos candidatos.
Enunciado da questão 168 do Enem 2021
Num octaedro regular, duas faces são consideradas opostas quando não têm nem arestas, nem vértices em comum. Na figura, observa-se um octaedro regular e uma de suas planificações, na qual há uma face colorida na cor cinza escuro e outras quatro faces numeradas.
Qual(is) face(s) ficará(ão) oposta(s) à face de cor cinza escuro, quando o octaedro for reconstruído a partir da planificação dada?
A) 1, 2, 3 e 4
B) 1 e 3
C) 1
D) 2
E) 4
Resolução comentada da questão 168
Matérias necessárias para resolver a questão
Matemática (Geometria Espacial: Planificação de Sólidos e Visão Espacial).
Tema e objetivo geral
Realizar a montagem mental de um poliedro (octaedro regular) a partir de sua planificação 2D para identificar a posição relativa de suas faces (quais são vizinhas e quais são opostas).
Nível da questão
Médio/Difícil.
Exige uma competência específica de abstração espacial (“dobradura mental”). Sem conseguir visualizar o objeto fechando, o aluno pode se perder.
Gabarito da questão 168: alternativa E
Letra E.
A alternativa está correta pois, ao dobrarmos a planificação, a face cinza (vamos chamá-la de 8) fica “nas costas” da face 4. Elas são as únicas que não se tocam em ponto nenhum, sendo perfeitamente paralelas e opostas no espaço.
Passo 1: o que a questão pede (o mapa da mina)
Decodificação do Objetivo:
A questão te dá um octaedro desmontado (aberto na mesa).
Ela quer que você monte ele na sua cabeça.
Ao fechar o objeto, uma face (a cinza) vai ficar num lado. Qual é a face que vai ficar do lado exatamente oposto (nas “costas” dela)?
- Regra de Ouro: Faces opostas não se encostam. Não podem dividir aresta (lado) nem vértice (ponta).
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine uma Pirâmide Dupla (dois balões de festa junina colados pela base).
O octaedro é isso: 4 triângulos em cima, 4 triângulos embaixo.
A planificação mostra esses triângulos espalhados.
Você precisa descobrir quem é o “vizinho de porta” e quem é o “vizinho da rua de trás”.
O verdadeiro desafio aqui é fazer a dobradura mental sem ter papel na mão.
Plano de Ataque:
- Numerar as Faces: Vamos dar números para as faces sem nome para facilitar o rastreamento.
- Identificar a Estrutura: O octaedro tem um “cinturão” de 4 faces e duas “tampas” (uma em cima, uma embaixo).
- Montar o Quebra-Cabeça: Se a face 4 for a base (chão), onde a face cinza vai parar?
Passo 2: planificação do octaedro
Vamos abrir a maleta da Geometria Espacial.
Ferramenta: A Regra do “Pula Um”
Em planificações de sólidos regulares (como cubo ou octaedro), faces opostas geralmente estão separadas por uma face intermediária na sequência de dobradura.
- No cubo (dado): A face 1 é oposta à 3 (pula a 2).
- No octaedro: A lógica é similar, mas com triângulos.
O Método da Fixação:
Vamos escolher uma face para ser “o chão” e deixar ela parada. As outras dobram em volta dela.
Vamos escolher a Face 4 como fixa, pois ela está no centro da “cintura” da figura.
Passo 3: resolução passo a passo (mão na massa)
Uma imagem poderosa pode transformar um conceito abstrato em uma memória inesquecível. A ilustração a seguir foi criada para visualizar a essência da nossa análise, tornando a ideia central clara e impactante:
(Mapeamento das Faces): Observe na imagem acima a numeração sugerida: as faces originais (1, 2, 3, 4), as novas numerações (5, 6, 7) e a face cinza sendo a número 8. Veja como elas se encaixam no objeto 3D.
A Montagem Mental (Base Fixa na Face 4):
Vamos usar a numeração da imagem para guiar a dobra:
- A Base: Imagine a Face 4 parada, colada na mesa.
- As Paredes: Levante as faces vizinhas para começar a fechar.
- A face 2 sobe (vira parede).
- A face 5 sobe (vira parede).
- A face 6 sobe (vira parede).
- O Fechamento:
- A face 1 e a face 3 vão se encontrar lá em cima para fechar o “teto” de um lado.
- A face 7 vai fechar outro lado.
- O Destino da Face Cinza (8):
- A face cinza (8) está grudada na face 6.
- Quando a face 6 sobe (ficando vertical), a face 8 dobra por cima dela.
- Ao terminar a dobra, a face 8 vai ficar paralela ao chão (face 4), só que lá em cima.
- Ela vira o “teto” oposto ao “chão”.
Prova Real:
Se a face 4 é o chão e a face cinza é o teto, elas não se tocam. Elas são opostas.
Qualquer outra face (2, 5, 6…) toca na face 4 em alguma aresta. A única que não toca é a cinza.
ARMADILHA CLÁSSICA!
CUIDADO com a Face 2!
Muitos alunos acham que a face oposta é a 2, porque ela está “longe” no desenho (lá em cima).
Mas veja na imagem 3D: A face 2 toca a face 3 e 1. A face cinza toca a face 5 e 6.
Quando dobramos, a ponta de cima da face 2 vai encontrar a ponta de baixo da face cinza. Elas vão se tocar num vértice! Se tocam vértice, não são opostas.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Ao dobrar a planificação, a face cinza fecha o sólido exatamente no lado contrário da face 4.
- Expectativa: Face 4.
Passo 4: alternativas comentadas (a autópsia)
A) 1, 2, 3 e 4.
- Diagnóstico do Erro: Não entendeu a pergunta.
- Análise: O aluno listou todas as faces numeradas, achando que a pergunta era “quais faces existem”. Mas a pergunta quer a oposta (singular). Um octaedro só tem 1 face oposta a outra.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 1 e 3.
- Diagnóstico do Erro: Erro de visualização.
- Análise: As faces 1 e 3 são vizinhas da face 2. Na montagem, elas vão ficar “de lado”, compartilhando arestas com a face cinza ou vértices.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 1.
- Diagnóstico do Erro: Chute distante.
- Análise: A face 1 está na ponta superior esquerda. Ao fechar, ela encosta na face cinza.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 2.
- Diagnóstico do Erro: A “falsa oposta”.
- Análise: Parece oposta no desenho 2D (uma em cima, outra embaixo). Mas no 3D, elas se encontram pelo vértice. A regra diz: “sem vértice em comum”. Logo, não é a 2.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 4.
- Análise de Correspondência: Perfeita.
- Análise: Se fixarmos a face 4, a face cinza dobra-se para ficar exatamente na frente dela, sem tocar nenhuma aresta ou vértice da 4. É o par perfeito de oposição.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
Passo 5: resumo e aprendizagem expandida
Frase de Fechamento:
A planificação do octaedro é como um origami mental: ao fixarmos a face central (4) como base e dobrarmos as abas laterais, a face da extremidade oposta (cinza) encaixa-se como a “tampa” paralela, revelando que elas são as únicas faces que nunca se tocam.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
Face 4 é o chão. Face Cinza é o teto.
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Conecte isso com Química (Geometria Molecular).
Muitas moléculas (como o SF6 – Hexafluoreto de Enxofre) têm geometria octaédrica. Saber quem é oposto a quem (posição trans) é vital para entender a polaridade e a reatividade da molécula. A visão espacial que você usa na prova de matemática é a mesma que o químico usa para criar novos materiais!
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