A questão 164 do Enem 2021 (caderno azul, Dia 2) é de Matemática e cobra um sistema linear com mais incógnitas que equações. O gabarito é a alternativa B (24). Abaixo você confere o enunciado, a resolução passo a passo e por que cada alternativa errada engana tantos candidatos.
Enunciado da questão 164 do Enem 2021
Uma pessoa pretende viajar por uma companhia aérea que despacha gratuitamente uma mala com até 10kg.
Em duas viagens que realizou, essa pessoa utilizou a mesma mala e conseguiu 10 kg com as seguintes combinações de itens:
Para ter certeza de que sua bagagem terá massa de 10 kg, ela decide levar essa mala com duas calças, um sapato e o máximo de camisetas, admitindo que itens do mesmo tipo têm a mesma massa.
Qual a quantidade máxima de camisetas que essa pessoa poderá levar?
A) 22
B) 24
C) 26
D) 33
E) 39
Resolução comentada da questão 164
Matérias necessárias para resolver a questão
Matemática (Álgebra: Sistemas Lineares e Raciocínio Lógico).
Tema e objetivo geral
Resolver um sistema linear com mais incógnitas do que equações, utilizando a comparação entre duas situações dadas para encontrar uma “taxa de equivalência” (relação de troca) entre os itens da mala.
Nível da questão
Médio.
Não conseguimos descobrir o peso exato de cada peça isoladamente (o sistema é indeterminado), mas conseguimos descobrir a relação entre elas. O aluno precisa ter a sacada de subtrair uma situação da outra para ver o padrão.
Gabarito da questão 164: alternativa B
Letra B.
A alternativa está correta pois, ao compararmos a Viagem 1 com a Viagem 2, descobrimos que 1 calça + 1 sapato pesam o mesmo que 6 camisetas. Usando essa troca, adaptamos a mala para a nova configuração e chegamos a 24 camisetas.
Passo 1: o que a questão pede (o mapa da mina)
Decodificação do Objetivo:
Temos uma mala que aguenta 10 kg.
- Cenário 1: 12 camisetas, 4 calças, 3 sapatos. (Pesa 10kg).
- Cenário 2: 18 camisetas, 3 calças, 2 sapatos. (Pesa 10kg).
- Nosso Objetivo: Queremos levar 2 calças e 1 sapato. Quantas camisetas cabem no espaço que sobrou?
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que você está trocando figurinhas.
No Cenário 1 você deu um pacote. No Cenário 2 você deu outro pacote com o mesmo valor.
Ao comparar os dois, você percebe que quando você tira calça e sapato, você pode colocar mais camiseta.
A questão quer que você descubra a Taxa de Câmbio: Quantas camisetas valem o conjunto “calça + sapato”?
Plano de Ataque:
- Montar as Equações: Transformar os textos em matemática (x, y, z).
- Subtrair as Equações: Ver a diferença entre a Viagem 1 e a Viagem 2. Isso vai revelar o “peso relativo” das coisas.
- Aplicar a Troca: Pegar uma das viagens e substituir calças e sapatos por camisetas até chegar na configuração desejada.
Passo 2: sistema linear
Vamos abrir a maleta da Álgebra.
Chamaremos as massas de:
- x = Camiseta
- y = Calça
- z = Sapato
As Fórmulas da Mala:
- Viagem I: 12x + 4y + 3z = 10 kg
- Viagem II: 18x + 3y + 2z = 10 kg
Meta: Queremos saber o valor de K na equação:
K.x + 2y + 1z = 10 kg
Passo 3: resolução passo a passo (mão na massa)
Vamos comparar a Viagem I com a Viagem II.
Observe a mudança:
- De I para II, o número de camisetas aumentou em 6 (de 12 para 18).
- Em compensação, o número de calças diminuiu em 1 (de 4 para 3).
- E o número de sapatos diminuiu em 1 (de 3 para 2).
O Insight do Detetive:
Para colocar 6 camisetas a mais, a pessoa teve que tirar 1 calça e 1 sapato. O peso total continuou 10 kg.
Conclusão Matemática: O peso de (1 calça + 1 sapato) é IGUAL ao peso de 6 camisetas.
Em “matematiquês”: y + z = 6x.
Aplicando à Meta Final:
Queremos levar 2 calças e 1 sapato (2y + z).
Vamos pegar a Viagem II como base, pois ela está mais perto do que queremos.
- A Viagem II tem: 18 camisetas + 3 calças + 2 sapatos.
- Nós queremos apenas: 2 calças + 1 sapato.
Ou seja, precisamos retirar da Viagem II exatamente 1 calça e 1 sapato.
- Se eu tiro 1 calça e 1 sapato, quanto espaço sobra?
- Sobra espaço para 6 camisetas (já descobrimos essa troca!).
Conta Final:
Tinha 18 camisetas.
Tirei o kit (calça+sapato) e troquei por 6 camisetas.
Total de camisetas = 18 + 6 = 24 camisetas.
ARMADILHA CLÁSSICA!
CUIDADO com o sistema impossível!
Muitos alunos tentam descobrir o peso exato da camiseta (achar o valor de x).
Não dá! Você tem 3 incógnitas (x, y, z) e apenas 2 equações. Existem infinitos valores possíveis para o peso individual. O segredo não é achar o peso, é achar a relação de troca. Não perca tempo tentando achar “x = 200 gramas”, foque em “1 calça vale 6 camisetas”.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: 1 calça + 1 sapato = 6 camisetas. Partindo da viagem II, trocamos o excesso de roupa por mais 6 camisetas. 18 + 6 = 24.
- Expectativa: O número 24.
Passo 4: alternativas comentadas (a autópsia)
A) 22.
- Diagnóstico do Erro: Erro de proporção.
- Análise: O aluno pode ter tentado uma regra de três simples ignorando a diferença de peso entre calças e sapatos.
B) 24.
- Análise de Correspondência: Perfeita.
- Análise:
- Equação Base (Viagem II): 18x + 3y + 2z = 10
- Relação descoberta: y + z = 6x
- Substituindo na base: 18x + 2y + z + (y + z) = 10
- 18x + 2y + z + (6x) = 10
- (18x + 6x) + 2y + z = 10
- 24x + 2y + z = 10.
- Logo, cabem 24 camisetas.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
C) 26.
- Diagnóstico do Erro: Erro de troca.
- Análise: Talvez o aluno tenha achado que a troca era por 8 camisetas ou somou errado.
D) 33.
- Diagnóstico do Erro: Extrapolação.
- Análise: Um número muito alto, sugerindo que calças e sapatos pesam quase nada, o que não condiz com a relação 1y+1z=6x.
E) 39.
- Diagnóstico do Erro: Ignorou as calças restantes.
- Análise: Talvez o aluno tenha tentado transformar TUDO em camisetas (tirar todas as calças e sapatos), mas a questão exige levar 2 calças e 1 sapato.
Passo 5: resumo e aprendizagem expandida
Frase de Fechamento:
Para otimizar a mala, utilizamos um sistema linear para descobrir a “taxa de câmbio” dos objetos: ao perceber que remover um par de calça e sapato libera espaço exato para 6 camisetas, pudemos ajustar a bagagem da Viagem II, chegando ao máximo de 24 camisetas.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
Tira 1 calça e 1 sapato →Entram 6 camisetas.
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Conecte isso com Estequiometria Química.
Resolver esse problema é igual a balancear uma equação química ou calcular reagentes. Você não precisa saber a massa atômica de cor se souber a proporção molar (a relação de troca). Se 1 mol de A reage com 1 mol de B para dar 6 mols de C, a matemática é a mesma dessa mala!
Continue estudando
- Questão anterior: questão 163 do Enem 2021 (caderno azul)
- Próxima questão: questão 165 do Enem 2021 (caderno azul)
- Todas as questões: Enem 2021 resolvido, com todas as questões comentadas
- Para revisar o conteúdo: curso de cálculo mental para o Enem
- Aula gratuita no YouTube: Tudo de matemática do ensino fundamental para o Enem (canal Pedro Assaad)
- Prova oficial: provas e gabaritos do Enem no site do Inep
Quer ver outras questões resolvidas e materiais de estudo num só lugar? Conheça o Enem Wiki da Plataforma Assaad.
