Questão 160, caderno azul do ENEM 2023 – DIA 2

Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos, foi solicitado ao usuário que criasse uma senha, sendo
permitido o uso somente dos seguintes caracteres:

algarismos de 0 a 9;
26 letras minúsculas do alfabeto;
26 letras maiúsculas do alfabeto;
6 caracteres especiais !, @, #, $, *, &.

Três tipos de estruturas para senha foram apresentadas ao usuário:

tipo I: formada por quaisquer quatro caracteres distintos, escolhidos dentre os permitidos;
tipo II: formada por cinco caracteres distintos, iniciando por três letras, seguidas por um algarismo e, ao final, um caractere especial;
tipo III: formada por seis caracteres distintos, iniciando por duas letras, seguidas por dois algarismos e, ao
final, dois caracteres especiais.

Considere p1, p2 e p3 as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa, as senhas dos tipos I, II e III, respectivamente.

Nessas condições, o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, na primeira tentativa, é o

a) tipo I, pois p1 < p2 < p3.

b) tipo I, pois tem menor quantidade de caracteres.

c) tipo II, pois tem maior quantidade de letras.

d) tipo III, pois p3 < p2 < p1.

e) tipo III, pois tem maior quantidade de caracteres.

✍ Resolução Em Texto

Matérias Necessárias para a Solução da Questão

Matemática (Análise Combinatória: Princípio Fundamental da Contagem).
Probabilidade (Conceito Inverso).

Tema/Objetivo Geral:
Comparar o número total de possibilidades (espaço amostral) de três sistemas de senhas diferentes para determinar qual é o mais seguro (menor probabilidade de acerto ao acaso).

Nível da Questão:
Difícil.
Justificativa: A intuição diz que “senha maior é mais segura”. O aluno precisa fazer as contas para provar que a senha menor (4 dígitos livres) gera muito mais combinações do que a senha maior (6 dígitos restritos). O cálculo envolve multiplicações grandes, exigindo organização.

Gabarito:
Letra A – tipo I, pois p1 < p2 < p3.
Resumo:
Total de Senhas Tipo I (4 dígitos): ~19,5 milhões.
Total de Senhas Tipo II (5 dígitos): ~7,9 milhões.
Total de Senhas Tipo III (6 dígitos): ~7,1 milhões.
Como o Tipo I tem mais combinações, a chance de acertar uma (1 em 19 milhões) é a menor de todas.

Resolução Passo a Passo

1️⃣ – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)

A Missão:
A questão pede para identificar qual senha tem a menor probabilidade de ser descoberta.
Probabilidade (P) é o inverso do número de possibilidades (N).
P = 1 / N

Se N é grande (muitas senhas), P é pequeno (difícil de acertar).
Se N é pequeno (poucas senhas), P é grande (fácil de acertar).

A Analogia Central (A Agulha no Palheiro):
Imagine que você tem que achar uma agulha.

Palheiro I: Tem 19 milhões de palhas.
Palheiro II: Tem 7 milhões de palhas.
Palheiro III: Tem 7 milhões de palhas.
Em qual palheiro é mais difícil achar a agulha (menor probabilidade)? No Palheiro I, porque ele é maior.
A questão quer saber qual é o maior palheiro.

Nosso Plano de Ataque:

Contar o total de caracteres disponíveis (Algarismos + Letras + Especiais).
Calcular o número de senhas possíveis para o Tipo I, II e III usando o Princípio da Contagem.
Comparar os totais. O maior total terá a menor probabilidade.

2️⃣ – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)

Vamos fazer o inventário dos caracteres:

Algarismos (0-9): 10 opções.
Letras minúsculas: 26 opções.
Letras maiúsculas: 26 opções.
- Total de Letras: 26 + 26 = 52 opções.
Especiais: 6 opções.
TOTAL GERAL (Tudo misturado): 10 + 52 + 6 = 68 caracteres.

Ferramenta: Princípio Fundamental da Contagem (PFC).
Multiplicamos as possibilidades de cada “casinha” da senha.
Atenção: O texto diz “caracteres distintos” (não pode repetir). Então, a cada escolha, o número de opções diminui em 1.

3️⃣ – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)

Vamos calcular os totais (N).

TIPO I (4 caracteres quaisquer):
Pode usar qualquer um dos 68 caracteres.

1ª casa: 68 opções.
2ª casa: 67 opções.
3ª casa: 66 opções.
4ª casa: 65 opções.
N1 = 68 x 67 x 66 x 65 = 19.545.240 senhas.

TIPO II (5 caracteres restritos):
Regra: 3 Letras + 1 Algarismo + 1 Especial.

Letras (52 total): 52 x 51 x 50.
Algarismo (10 total): 10.
Especial (6 total): 6.
N2 = (52 x 51 x 50) x 10 x 6
N2 = 132.600 x 60 = 7.956.000 senhas.

TIPO III (6 caracteres restritos):
Regra: 2 Letras + 2 Algarismos + 2 Especiais.

Letras: 52 x 51.
Algarismos: 10 x 9.
Especiais: 6 x 5.
N3 = (52 x 51) x (10 x 9) x (6 x 5)
N3 = 2.652 x 90 x 30
N3 = 2.652 x 2.700 = 7.160.400 senhas.

Comparação Final:

N1 ≈ 19,5 milhões. (Maior número de senhas).
N2 ≈ 7,9 milhões.
N3 ≈ 7,1 milhões. (Menor número de senhas).

Como N1 é o maior, a probabilidade p1 (1/N1) é a menor.
Ordem das probabilidades: p1 < p2 < p3.

ALERTA DE DETETIVE! 🚨
CUIDADO com a intuição do tamanho!
Muitos alunos marcam a Letra E (“Tipo III, pois tem maior quantidade de caracteres”).
A intuição diz que uma senha de 6 dígitos é mais forte que uma de 4.
Por que a intuição falha aqui? Porque o Tipo III é cheio de restrições. Ele obriga você a usar algarismos e especiais (que são grupos pequenos, com poucas opções). O Tipo I te dá liberdade total para usar o grupo gigante de 68 caracteres em todas as posições. A liberdade gera mais caos (entropia) do que o tamanho restrito.

A Bússola (O Perfil do Culpado):

Síntese do raciocínio: O Tipo I tem mais combinações. Logo, é mais difícil de acertar.
Expectativa: Tipo I.

4️⃣– ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)

a) tipo I, pois p1 < p2 < p3.

Análise: Perfeito. O cálculo mostrou que N1 > N2 > N3. Como a probabilidade é o inverso (1/N), a ordem se inverte: p1 < p2 < p3. A senha I é a mais segura.
Conclusão: 🟢 Alternativa correta.

b) tipo I, pois tem menor quantidade de caracteres.

Diagnóstico do Erro: Justificativa errada.
Análise: O Tipo I é o mais seguro apesar de ter menos caracteres, e não por causa disso. Se o Tipo I tivesse as mesmas restrições dos outros, seria o mais fraco. Ele ganhou por causa da base de caracteres (68 opções), não pelo tamanho (4).
Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

c) tipo II, pois tem maior quantidade de letras.

Diagnóstico do Erro: Análise parcial.
Análise: Ter mais letras ajuda (o grupo de letras é grande), mas o cálculo global mostrou que ele perde para o Tipo I. A intuição de “mais letras = melhor” não vence a matemática do Tipo I.
Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

d) tipo III, pois p3 < p2 < p1.

Diagnóstico do Erro: Inversão total.
Análise: O aluno pode ter achado que “maior senha = mais combinações” e concluído que p3 seria a menor probabilidade. O cálculo provou o contrário: o Tipo III é o mais fácil de descobrir (maior probabilidade).
Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

e) tipo III, pois tem maior quantidade de caracteres.

Diagnóstico do Erro: O Distrator Intuitivo.
Análise: A armadilha clássica. Aumentar o tamanho da senha geralmente aumenta a segurança, mas apenas se mantivermos as opções de caracteres. Ao restringir as posições (obrigar a usar especiais e números), reduzimos drasticamente as possibilidades.
Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

5️⃣ – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)

Segurança não é sobre tamanho, é sobre liberdade. Uma senha curta onde tudo é permitido pode ser mais forte que uma senha longa cheia de regras.

Resumo-flash:
“4 casas livres valem mais que 6 casas presas: a liberdade matemática vence a burocracia das regras.”

Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Isso explica por que muitos sites pedem “pelo menos uma maiúscula, um número e um símbolo”. Embora isso restrinja o espaço, o objetivo dos sites é evitar senhas humanamente previsíveis (como “banana” ou “123456”). Matematicamente, ” s3nh@ !” é mais fraca que “batatadocefrita”, mas a regra força o usuário a sair do óbvio.