Para obter a posição de um telefone celular, a polícia baseia-se em informações do tempo de resposta do aparelho em relação às torres de celular da região de onde se originou a ligação. Em uma região, um aparelho está na área de cobertura de cinco torres, conforme o esquema
Considerando que as torres e o celular são puntiformes e que estão sobre um mesmo plano, qual o número mínimo de torres necessárias para se localizar a posição do do telefone celular que originou a ligação?
A) Uma.
B) Duas.
C) Três.
D) Quatro.
E) Cinco.
Resolução em texto
📘 Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria Analítica (Localização no plano), Física (Ondas, tempo de resposta), Lógica Espacial.
📔 Nível da Questão: Médio (ENEM).
✅ Gabarito: C) Três.
🎯 Tema/Objetivo Geral: Determinar o número mínimo de torres necessárias para localizar com precisão a posição de um telefone celular em um plano, usando o conceito de triangulação.
🔹 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1. Comando Essencial
📌 “Qual o número mínimo de torres necessárias para localizar a posição do telefone celular?”
1.2. O que está sendo pedido?
📌 Entender quantas informações distintas de distância (torres) são necessárias para determinar um ponto exato no plano (posição do celular).
1.3. Objetivo Cristalino
📌 Usar o conceito matemático de interseção de circunferências (raios baseados na distância) para localizar um ponto único — o celular.
1.4. Dica Geral
📌 ⚠️ Sempre que a questão envolver localização em um plano (2D) usando distâncias, pense em três circunferências que se cruzam em um ponto comum — isso é triangulação!
✔ Pergunta de Atenção
Você já parou pra pensar que com uma só distância, o celular pode estar em infinitos lugares? Vamos ver como isso funciona!
🔹 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1. Conceitos Fundamentais
- Ponto no plano:
📌 Para determinar um ponto no plano, precisamos de duas variáveis (x e y) — ou seja, um sistema de duas equações simultâneas, idealmente de circunferências com raio baseado na distância até o celular. - Triangulação:
📌 Técnica que utiliza a interseção de três circunferências com centros em diferentes torres e raios calculados pela diferença de tempo de resposta (distância entre torre e celular). - Interseção de Circunferências:
📌 Duas circunferências podem se cruzar em até dois pontos. Três circunferências bem posicionadas se cruzam em um ponto único — a localização exata.
2.2. Dúvida Comum (ÚNICA)
📌 “Mas duas torres não são suficientes?”
Boa dúvida! ❗
Com duas torres, a interseção dos dois círculos pode ser dois pontos — ambíguo. Só com três torres é que se consegue um único ponto de interseção no plano.
✔ Pergunta de Atenção
Entendeu que o ponto só é totalmente definido quando os três círculos se encontram exatamente no mesmo lugar? Vamos interpretar agora.
🔹 Passo 3: Tradução e Interpretação do Enunciado
📌 “A polícia baseia-se no tempo de resposta em relação às torres…”
→ Ou seja, calcula a distância entre o celular e cada torre.
📌 “Qual o número mínimo de torres necessárias…”
→ Quer saber quantos círculos de distância precisamos para que só um ponto no plano possa ser a posição correta.
🔹 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
📌 Com uma torre:
→ Distância conhecida = circunferência. Ponto pode estar em qualquer lugar dessa circunferência.
📌 Com duas torres:
→ Duas circunferências = dois pontos de interseção possíveis (ambiguidade).
📌 Com três torres:
→ Três circunferências = interseção em apenas UM ponto. Localização precisa.
🎯 Logo, o mínimo necessário para identificar um ponto no plano com segurança é três torres.
🔹 Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
- A) Uma.
❌ Incorreta. Apenas determina uma circunferência de possibilidades. - B) Duas.
❌ Incorreta. Determina dois pontos possíveis — ambiguidade. - C) Três.
✅ Correta! - Permite triangulação, com interseção única = posição exata.
- D) Quatro.
❌ Incorreta. É mais do que o necessário. - E) Cinco.
❌ Incorreta. Também é mais do que o mínimo necessário.
🔹 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1. Resumo do Raciocínio
📌 Para localizar um ponto em um plano por distância, usamos três torres para gerar três circunferências com um único ponto de interseção.
6.2. Reafirmação da Alternativa Correta
✅ A alternativa correta é C) Três.
6.3. 🔍 Resumo Final para Revisão
A técnica usada para localizar celulares, chamada triangulação, exige três torres para formar três círculos que se cruzam em um único ponto — determinando a posição do telefone no plano.
