Durante uma ação de fiscalização em postos de combustíveis, foi encontrado um mecanismo inusitado para enganar o consumidor. Durante o inverno, o responsável por um posto de combustível compra álcool por R$ 0,50/litro, a uma temperatura de 5 °C. Para revender o líquido aos motoristas, instalou um mecanismo na bomba de combustível para aquecê-lo, para que atinja a temperatura de 35 °C, sendo o litro de álcool revendido a R$ 1,60. Diariamente o posto compra 20 mil litros de álcool a 5 ºC e os revende.
Com relação à situação hipotética descrita no texto e dado que o coeficiente de dilatação volumétrica do álcool é de 1×10-3 ºC-1, desprezando-se o custo da energia gasta no aquecimento do combustível, o ganho financeiro que o dono do posto teria obtido devido ao aquecimento do álcool após uma semana de vendas estaria entre:
A) R$ 500,00 e R$ 1.000,00.
B) R$ 1.050,00 e R$ 1.250,00.
C) R$ 4.000,00 e R$ 5.000,00.
D) R$ 6.000,00 e R$ 6.900,00.
E) R$ 7.000,00 e R$ 7.950,00.
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Termologia (Dilatação Volumétrica dos Líquidos)
- Matemática Financeira (Cálculo de Lucro)
- Aritmética
🎯 Tema/Objetivo Geral: Calcular o ganho financeiro extra obtido pela venda de um líquido que foi expandido (dilatado) devido a um aumento de temperatura.
📊 Nível da Questão: Médio.
Por quê? A questão exige a aplicação da fórmula da dilatação volumétrica e, em seguida, o uso do resultado em um cálculo financeiro. O aluno precisa seguir uma sequência lógica de passos:
1) Calcular a variação de volume do álcool.
2) Calcular o ganho extra obtido com o volume “criado” pela dilatação.
3) Calcular o ganho total em uma semana.
✅ Gabarito: Alternativa D.
Resumo: Primeiro, calculamos a dilatação (ΔV) de 20.000 litros de álcool aquecidos em 30 °C, usando ΔV = V₀ ⋅ γ ⋅ ΔT, o que resulta em um “ganho” de 600 litros por dia. O ganho financeiro diário com esse volume extra é de 600 litros × R$ 1,60/litro = R$ 960,00. Em uma semana (7 dias), o ganho total será de 7 × R$ 960,00 = R$ 6.720,00, valor que se encaixa no intervalo da alternativa D.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“…o ganho financeiro que o dono do posto teria obtido devido ao aquecimento do álcool após uma semana de vendas estaria entre…”
O que está sendo pedido?
A questão pede para calcularmos o lucro extra que o dono do posto ganha em uma semana, especificamente por causa do volume “a mais” que ele vende ao aquecer o álcool. Não é para calcular o lucro total, apenas o ganho proveniente da dilatação.
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é seguir um plano de cálculos:
- Calcular o quanto o volume de álcool aumenta por dia devido ao aquecimento.
- Calcular quanto dinheiro esse volume extra gera por dia.
- Multiplicar o ganho diário por 7 para encontrar o ganho semanal.
🧠 O dono do posto compra 20 mil litros, mas ele vende mais do que isso? Sim, porque o aquecimento faz o líquido se expandir. O “ganho” vem da venda desse volume que “apareceu do nada”.
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Dilatação Volumétrica:
O que é: É o aumento no volume de um corpo (sólido, líquido ou gás) quando sua temperatura aumenta.
Fórmula: ΔV = V₀ ⋅ γ ⋅ ΔT - ΔV: Variação do volume (o volume “extra” que foi criado).
- V₀: Volume inicial.
- γ (gama): Coeficiente de dilatação volumétrica (uma propriedade do material).
- ΔT: Variação de temperatura (T_final – T_inicial).
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
A situação é uma fraude esperta. O dono do posto compra álcool no frio e o vende no calor. Como líquidos se expandem quando aquecidos, ele compra um volume X e vende um volume X + um “chorinho”. Ele ganha dinheiro com esse “chorinho” que foi criado pelo aquecimento. Nossa missão é calcular o valor desse “chorinho” em litros, depois em reais por dia, e finalmente em reais por semana.
Estratégia Geral 🗺️
- Identificar os dados para a fórmula da dilatação.
- Calcular a dilatação diária (ΔV).
- Calcular o ganho financeiro diário com essa dilatação.
- Multiplicar por 7 para obter o ganho semanal.
- Verificar em qual intervalo a resposta se encontra.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
- Calcular a Dilatação Diária (ΔV):
Identificar os dados:
Volume inicial (V₀) = 20.000 litros (volume comprado por dia).
Coeficiente de dilatação (γ) = 1 × 10⁻³ °C⁻¹.
Variação de Temperatura (ΔT) = T_final – T_inicial = 35 °C – 5 °C = 30 °C.
Aplicar a fórmula ΔV = V₀ ⋅ γ ⋅ ΔT:
ΔV = 20.000 ⋅ (1 × 10⁻³) ⋅ 30
ΔV = 20.000 ⋅ 0,001 ⋅ 30
ΔV = 20 ⋅ 30
ΔV = 600 litros
Interpretação: A cada dia, o aquecimento “cria” 600 litros de álcool a mais para serem vendidos. - Calcular o Ganho Financeiro Diário com a Dilatação:
O ganho extra vem da venda desses 600 litros adicionais.
Preço de venda = R$ 1,60 por litro.
Ganho Diário = Volume Extra × Preço de Venda
Ganho Diário = 600 ⋅ 1,60
Ganho Diário = R$ 960,00 - Calcular o Ganho Financeiro Semanal:
Uma semana tem 7 dias.
Ganho Semanal = Ganho Diário × 7
Ganho Semanal = 960 ⋅ 7
Ganho Semanal = R$ 6.720,00
A Armadilha Comum 🚨
A principal armadilha seria esquecer de calcular o ganho para a semana inteira e marcar uma alternativa baseada no ganho diário (R$ 960,00, que se encaixa no intervalo A). Outro erro comum seria no cálculo com a notação científica (10⁻³) ou na multiplicação final.
O cálculo nos levou a um ganho semanal de R$ 6.720,00. Precisamos encontrar o intervalo nas alternativas que contém esse valor.
Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) R$ 500,00 e R$ 1.000,00.
Incorreta. Este intervalo contém o ganho diário (R$ 960,00), mas a questão pede o ganho semanal.
🔴 B) R$ 1.050,00 e R$ 1.250,00.
Incorreta.
🔴 C) R$ 4.000,00 e R$ 5.000,00.
Incorreta.
🟢 D) R$ 6.000,00 e R$ 6.900,00.
Correta. O valor que calculamos, R$ 6.720,00, está dentro deste intervalo.
🔴 E) R$ 7.000,00 e R$ 7.950,00.
Incorreta.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
O problema descreve uma situação em que o volume do álcool é aumentado por dilatação térmica antes da revenda. Primeiro, calculamos o volume extra (ΔV) gerado diariamente usando a fórmula da dilatação volumétrica, encontrando 600 litros. Em seguida, calculamos o ganho financeiro diário proveniente da venda desse volume extra (600 litros × R$ 1,60/litro = R$ 960,00). Finalmente, multiplicamos o ganho diário por 7 para obter o ganho semanal total (R$ 960,00 × 7 = R$ 6.720,00), que se enquadra no intervalo da alternativa D.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a D.
Resumo Final para Revisão
Em questões com múltiplos passos, organize seu raciocínio:
- Calcule a grandeza física (aqui, a dilatação ΔV).
- Use essa grandeza para o cálculo intermediário (o ganho diário).
- Finalize com o cálculo pedido (o ganho semanal).
E sempre preste atenção às unidades e ao período de tempo solicitado (dia vs. semana).
