Um cortador de grama elétrico tem o cabo plugado em uma tomada fixa rente ao solo plano de um gramado. O cabo de energia mede 5 metros, e o cortador tem uma lâmina que corta 1 metro de largura. Atualmente ele corta, portanto, uma região no formato de círculo de raio 6 m, como ilustra a figura. Pretende-se usar adicionalmente um cabo extensor, de modo que seja possível cortar uma região com o dobro da área que corta atualmente.
Qual a medida aproximada, em metro, do comprimento do cabo extensor?
A) 12,0
B) 8,5
C) 6,0
D) 3,0
E) 2,5
Resolução em texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria Plana (área de círculo)
Nível da Questão: Médio
Gabarito: 2,5 (Alternativa E)
Tema/Objetivo Geral: Determinar o comprimento de um cabo extensor necessário para que a área de corte de um cortador de grama seja o dobro da área atual.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Retomar o Comando da Questão:
“O cortador de grama possui um cabo de 5 metros e uma lâmina que corta 1 metro de largura. Assim, o raio de corte atual é 6 metros. Deseja-se dobrar a área de corte, acrescentando um cabo extensor, de modo que o raio final seja maior. Pergunta-se: qual deve ser o comprimento desse extensor?”
🔹 Explicação Detalhada:
- O raio atual (sem extensor) é 6 m.
- A área atual é (π × 6²).
- Para dobrar essa área, calculamos o novo raio R que satisfaz a área dobrada (2 × 36π).
- Subtraímos 6 do novo raio para encontrar o tamanho do extensor.
Identificação de Palavras-Chave:
- “Raio atual 6 m”, “Dobrar a área”, “comprimento do extensor”.
Definição do Objetivo:
Encontrar a medida do cabo extensor (em metros) para dobrar a área de corte.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Conceitos Matemáticos Essenciais:
🔹 Área do Círculo:
Área = π × (raio)²
🔹 Fator de Dobro da Área:
Se a área atual é A, a nova área desejada é 2A.
🔹 Diferença de Raio para Obter Comprimento do Extensor:
Se o novo raio é R, o extensor é (R – 6).
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Análise do Contexto:
- Raio atual = 6 m → área atual = π × 6² = 36π.
- Área desejada = 2 × 36π = 72π.
- Precisamos encontrar R tal que π × R² = 72π.
- Em seguida, extensor = R – 6.
Frases-Chave:
- “área atual = 36π”, “nova área = 72π”, “R = ?”, “extensor = R – 6”.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Resolução Passo a Passo:
- Área Atual:
- A_atual = π × (6)² = 36π
- Área Desejada (dobro):
- A_nova = 72π
- Encontrar o novo raio R:
- π × R² = 72π
- Dividir ambos os lados por π:
R² = 72 - Então R = √72
- Aproximando, √72 = √(36 × 2) = 6 × √2 ≈ 6 × 1,414 ≈ 8,485 (aprox. 8,5)
- Cálculo do Extensor:
- O raio atual é 6, então extensor = R – 6
- 8,5 – 6 = 2,5
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
Reescrita das Alternativas:
A) 12,0
B) 8,5
C) 6,0
D) 3,0
E) 2,5
🔹 Justificativa da Alternativa Correta:
✅ O valor encontrado para o extensor é 2,5 m, correspondendo à Alternativa E.
🔹 Análise das Alternativas Incorretas:
❌ As outras opções não batem com o resultado do cálculo (2,5).
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
- O raio atual é 6 m (5 m do cabo + 1 m da lâmina).
- Área atual = 36π, queremos 72π.
- Novo raio R satisfaz R² = 72, resultando em R ≈ 8,5.
- O extensor é (8,5 – 6) = 2,5 m.
Reafirmação da Alternativa Correta:
A resposta correta é 2,5, isto é, a Alternativa E.
🔍 Resumo Final:
Para dobrar a área do círculo de raio 6 m, precisamos de um novo raio de √72 ≈ 8,5, implicando um extensor de 2,5 m. Portanto, a Alternativa E é a correta.
