Um carcinicultor tem um viveiro de camarão cuja cerca na superfície tem formato de um trapézio isósceles. A base maior e a altura desse trapézio têm medidas, respectivamente, de 45 e 20 metros. Para manter uma produção de qualidade, ele segue o padrão de 10 camarões para cada metro quadrado da área delimitada para o viveiro, com uma produção atual correspondente a 6 000 camarões. Mantendo o mesmo padrão de qualidade, ele pretende aumentar a capacidade produtiva desse viveiro em 2 400 unidades de camarão, com a ampliação da área delimitada para o viveiro, modificando apenas a medida da base menor do trapézio.
Em quantos metros ele deverá aumentar a medida da base menor do trapézio para alcançar a capacidade produtiva desejada?
A) 21
B) 24
C) 36
D) 39
E) 54
Resolução em texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria de áreas, Proporcionalidade
Nível da Questão: Médio
Gabarito: 24 (Alternativa B)
Tema/Objetivo Geral: Determinar de quanto em quanto metros a base menor de um trapézio deve ser aumentada para que a nova área seja suficiente para uma produção de 2.400 camarões a mais (totalizando 8.400 camarões), considerando que cada metro quadrado suporta 10 camarões.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Retomar o Comando:
Uma família de produção de camarões possui um viveiro delimitado por uma cerca em forma de trapézio isósceles, cuja base maior mede 45 m e a altura é 20 m. Atualmente, a produção é de 6.000 camarões, usando o padrão de 10 camarões por m². O engenheiro deseja aumentar a produção em 2.400 camarões (totalizando 8.400), ampliando a área apenas modificando a base menor.
📌 Objetivo:
Encontrar o aumento, em metros, da base menor do trapézio necessário para atingir a nova área.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Conceitos Fundamentais:
🔹 Área do Trapézio:
Área = (base maior + base menor) × altura / 2
🔹 Relação de Produção:
Cada m² suporta 10 camarões, logo, a área necessária = (número de camarões) / 10.
🔹 Condição de Ampliação:
A nova área deve ser igual à área necessária para 8.400 camarões.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Contexto:
- Produção atual: 6.000 camarões → área atual = 6.000 / 10 = 600 m².
- Produção desejada: 8.400 camarões → área necessária = 8.400 / 10 = 840 m².
- O trapézio original tem base maior = 45 m, altura = 20 m e base menor (atual) = m.
- A nova embalagem terá a mesma base maior e altura, mas a base menor será aumentada para um novo valor M.
- Precisamos encontrar a diferença M – m.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Cálculo da Área Atual:
- Área atual, com base menor m, é dada por:
(45 + m) × 20 / 2 = 600 - Simplificando:
(45 + m) × 10 = 600
45 + m = 600 / 10 = 60
m = 60 – 45 = 15
📌 Cálculo da Nova Área Desejada:
- Área desejada para 8.400 camarões = 840 m².
- Com nova base menor M:
(45 + M) × 20 / 2 = 840 - Simplificando:
(45 + M) × 10 = 840
45 + M = 840 / 10 = 84
M = 84 – 45 = 39
📌 Determinação do Aumento:
- Aumento = M – m = 39 – 15 = 24 metros
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 Alternativas Disponíveis:
A) 21
B) 24
C) 36
D) 39
E) 54
🔹 Justificativa da Alternativa Correta:
✅ O aumento necessário é de 24 metros, conforme os cálculos: a base menor passa de 15 m para 39 m.
🔹 Análise das Alternativas Incorretas:
❌ As demais alternativas não correspondem à diferença obtida (24 m).
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
- A produção atual exige 600 m² (6.000 camarões / 10).
- O trapézio atual tem área: (45 + m) × 20 / 2 = 600, de onde m = 15.
- Para aumentar a produção para 8.400 camarões, a nova área deve ser 840 m², obtida por: (45 + M) × 20 / 2 = 840, resultando em M = 39.
- Assim, o aumento necessário na base menor é M – m = 39 – 15 = 24 metros.
📌 Reafirmação da Alternativa Correta:
Portanto, a base menor deve ser aumentada em 24 metros, confirmando a Alternativa B.
🔍 Resumo Final:
Com a área atual de 600 m² e a necessidade de atingir 840 m², a base menor do trapézio precisa passar de 15 m para 39 m. A diferença é de 24 metros, o que atende à condição de aumento de capacidade produtiva desejada. A resposta correta é a Alternativa B.
