Um carcinicultor tem um viveiro de camarão cuja cerca na superfície tem formato de um trapézio isósceles. A base maior e a altura desse trapézio têm medidas, respectivamente, de 45 e 20 metros. Para manter uma produção de qualidade, ele segue o padrão de 10 camarões para cada metro quadrado da área delimitada para o viveiro, com uma produção atual correspondente a 6 000 camarões. Mantendo o mesmo padrão de qualidade, ele pretende aumentar a capacidade produtiva desse viveiro em 2 400 unidades de camarão, com a ampliação da área delimitada para o viveiro, modificando apenas a medida da base menor do trapézio.
Em quantos metros ele deverá aumentar a medida da base menor do trapézio para alcançar a capacidade produtiva desejada?
A) 21
B) 24
C) 36
D) 39
E) 54
✍ “Resolução Em Texto”
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Geometria Plana (Área do Trapézio).
Aritmética (Razão e Proporção).
Tema/Objetivo Geral:
Calcular a variação necessária na medida de um dos lados paralelos (base menor) de um trapézio para que sua área aumente o suficiente para comportar uma nova carga de produção.
Nível da Questão
Médio.
Envolve passos sequenciais: converter “quantidade de camarões” em “área”, descobrir a dimensão original do terreno e, por fim, descobrir a nova dimensão necessária. O risco de erro está em confundir o valor da nova base com o valor do aumento da base.
Gabarito
Letra B (24 metros).
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
O produtor quer aumentar a casa dos camarões. Ele vai empurrar apenas uma das paredes (a base menor) para ganhar espaço. A pergunta é: quantos metros ele precisa empurrar essa parede para que caibam mais 2.400 camarões?
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine uma sala de aula em formato de trapézio.
- Hoje cabem 60 alunos.
- Queremos que caibam mais 24 alunos.
- Para isso, vamos aumentar a parede do fundo. Quantos metros a mais de parede precisamos construir?
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Conversão Camarão-Metro: Descobrir qual é a área atual e qual é a área extra necessária.
- O Cenário “Antes”: Calcular quanto mede a base menor hoje.
- O Cenário “Depois”: Calcular quanto a base menor deverá medir no futuro.
- A Diferença: Subtrair o “Depois” do “Antes” para achar o aumento.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Ferramenta 1: A Densidade Populacional
Regra: 10 camarões = 1 m².
Logo, Área = Quantidade de Camarões ÷ 10.
Ferramenta 2: A Fórmula do Trapézio
O viveiro é um trapézio.
Área = ((Base Maior + base menor) × altura) / 2
A = ((B + b) . h) / 2
Dados fixos:
- Base Maior (B) = 45 m.
- Altura (h) = 20 m.
O que varia é a base menor (b) e a Área (A).
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos resolver em etapas cronológicas.
FASE 1: O VIVEIRO ATUAL (O “Antes”)
- Produção: 6.000 camarões.
- Área Atual: 6.000 ÷ 10 = 600 m².
Vamos descobrir o tamanho da base menor atual (b):
600 = ((45 + b) . 20) / 2
Simplificando (20 dividido por 2 dá 10):
600 = (45 + b) . 10
Passa o 10 dividindo:
60 = 45 + b
b = 60 – 45
b (atual) = 15 metros.
FASE 2: A AMPLIAÇÃO (O “Depois”)
O produtor quer aumentar 2.400 camarões.
Total Novo = 6.000 + 2.400 = 8.400 camarões.
Nova Área Necessária: 8.400 ÷ 10 = 840 m².
Vamos descobrir a nova base menor (vamos chamar de X):
840 = ((45 + X) . 20) / 2
Simplificando:
840 = (45 + X) . 10
84 = 45 + X
X = 84 – 45
X (nova base) = 39 metros.
FASE 3: O CÁLCULO FINAL (A Pergunta)
A pergunta não é o tamanho novo, mas sim “em quantos metros ele deverá aumentar”.
Aumento = Tamanho Novo – Tamanho Velho.
Aumento = 39 – 15 = 24 metros.
🕵️♂️ MÉTODO NINJA (RESOLUÇÃO DIRETA PELA VARIAÇÃO):
Podemos calcular apenas o “puxadinho” (a área extra).
- Camarões extras: 2.400.
- Área Extra necessária: 240 m².
- Imagine que essa área extra é um trapézio (ou triângulo/retângulo) adicionado ao lado. A fórmula da variação da área depende linearmente da variação da base, já que a altura e a Base Maior são fixas ou irrelevantes para o delta.
Delta Área = (Delta base × altura) / 2
240 = (Aumento × 20) / 2
240 = Aumento × 10
Aumento = 240 / 10 = 24 metros.
Muito mais rápido!
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum é o aluno calcular tudo certo, encontrar 39 metros (o tamanho da nova base) e marcar a alternativa D. O enunciado pede o aumento (a diferença), não o valor final. Leia a última frase da questão duas vezes!
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: A base era 15. Precisou ir para 39. A diferença é 24.
- Expectativa: Procurar o número 24.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 21.
Diagnóstico do Erro: Erro de Cálculo.
Provavelmente um erro na subtração final (39 – 15) ou na divisão da área.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 24.
Análise de Correspondência:
Correto. Representa exatamente a diferença entre a nova base necessária (39m) e a base original (15m). Também bate com o cálculo direto da área excedente (240m² exigem 24m de base extra).
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
C) 36.
Diagnóstico do Erro: Confusão de Dados.
Pode ter surgido de uma confusão com a base maior (45 – 9 = 36?) ou erro de conta grosseiro.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 39.
Diagnóstico do Erro: O Distrator do Valor Final.
O aluno calculou perfeitamente a nova base menor (39 metros), mas esqueceu de subtrair a base antiga. Respondeu o tamanho final em vez do aumento.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 54.
Diagnóstico do Erro: Soma dos valores.
O aluno somou a base antiga com a nova (15 + 39 = 54).
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
A resposta é a Alternativa B, pois para acomodar o excedente de 2.400 camarões (que demandam 240 m² adicionais), a base menor do trapézio deve crescer 24 metros, mantendo-se a altura fixa de 20 metros.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Para ganhar 240 metros de área, empurre a parede 24 metros. A relação é direta: 10 para 1.”
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este problema demonstra a Linearidade entre Área e Base em figuras de altura constante. Na Engenharia Civil, ao alargar uma estrada (que é uma faixa longa e retangular ou trapezoidal), a quantidade de asfalto extra (Área) é diretamente proporcional à largura extra que você adiciona, assumindo que o comprimento da estrada (altura) não muda.
