Um artesão construiu peças de artesanato interceptando uma pirâmide de base quadrada com um plano. Após fazer um estudo das diferentes peças que poderia obter, ele concluiu que uma delas poderia ter uma das faces pentagonal.
Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do artesão?
a) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e a interseção de um plano com a pirâmide intercepta suas arestas laterais. Assim, esses pontos formam um polígono de 4 lados.
b) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangulares e, quando um plano intercepta essa pirâmide, divide cada face em um triângulo e um trapézio. Logo, um dos polígonos tem 4 lados.
c) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a interseção de uma face com um plano é um segmento de reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o polígono obtido nessa interseção tem 5 lados.
d) O número de lados de qualquer polígono obtido como interseção de uma pirâmide com um plano é igual ao número de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem 5 faces, o polígono tem 5 lados.
e) O número de lados de qualquer polígono obtido interceptando-se uma pirâmide por um plano é igual ao número de arestas laterais da pirâmide. Como a pirâmide tem 4 arestas laterais, o polígono tem 4 lados.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Espacial
- Poliedros (Pirâmides)
- Seções Planas (Cortes em Sólidos)
Tema/Objetivo Geral:
- Analisar a lógica geométrica por trás da formação de uma seção poligonal ao cortar uma pirâmide com um plano.
Nível da Questão
- Médio – A questão não envolve cálculos, mas requer um sólido entendimento conceitual e raciocínio espacial para identificar o argumento lógico correto e descartar as generalizações falhas.
Gabarito
- C) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a interseção de uma face com um plano é um segmento de reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o polígono obtido nessa interseção tem 5 lados. – A alternativa está correta porque estabelece a relação fundamental: o número de lados do polígono formado pelo corte é igual ao número de faces da pirâmide que o plano intercepta.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
A pergunta central do problema é: “Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do artesão?”
1.2 O que está sendo pedido?
A questão pede para identificarmos a explicação geométrica correta que valide a afirmação do artesão de que é possível obter uma face pentagonal (de 5 lados) ao cortar uma pirâmide de base quadrada.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é avaliar cada uma das alternativas e determinar qual delas apresenta o raciocínio geométrico correto sobre a interseção de um plano com uma pirâmide.
1.4 Pergunta de Atenção
Você se lembrou que cada lado do polígono de corte é formado pela intersecção do plano com uma face da pirâmide? Essa é a ideia central para resolver a questão!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
- Pirâmide de Base Quadrada: É um poliedro que possui uma base em formato de quadrado e quatro faces laterais em formato de triângulos, que se encontram em um ponto comum chamado vértice (ou ápice). No total, ela tem 5 faces (1 base + 4 laterais).
- Plano de Corte (ou Seção): Imagine uma “lâmina” infinitamente fina e grande que atravessa o sólido. A figura 2D que se forma na superfície do corte é chamada de seção plana.
- Princípio Fundamental do Corte em Poliedros: A regra mais importante para este problema é: o número de lados do polígono formado pela seção é igual ao número de faces do poliedro original que são interceptadas pelo plano de corte. Cada vez que o plano “atravessa” uma face, ele cria um segmento de reta, que será um dos lados do polígono resultante.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Um artesão está “fatiando” um bloco de madeira que tem o formato de uma pirâmide de base quadrada. Ele percebe que, dependendo do ângulo da “faca” (o plano de corte), ele consegue fazer um corte cuja superfície tem cinco lados (um pentágono). Nós precisamos explicar, usando a geometria, por que isso é possível.
3.2 Estratégia Geral
Nossa estratégia será analisar cada argumento oferecido nas alternativas à luz do princípio fundamental do corte: o número de lados do polígono resultante é igual ao número de faces que o plano atravessa. Aquele que usar esse princípio corretamente para justificar um pentágono será o correto.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado (Análise Lógica)
Este problema é de raciocínio, não de cálculo.
- Quantas faces a pirâmide tem? Uma pirâmide de base quadrada tem 1 face na base (quadrada) e 4 faces laterais (triangulares). Total = 5 faces.
- Como se forma a face pentagonal? Um pentágono é um polígono com 5 lados.
- Aplicando o princípio: Para que o polígono resultante do corte tenha 5 lados, o plano de corte deve interceptar exatamente 5 faces da pirâmide.
- Isso é possível? Sim. Se o plano de corte for inclinado de tal forma que ele atravesse a base da pirâmide e também todas as quatro faces laterais, ele terá interceptado todas as 5 faces. Cada uma dessas intersecções criará um lado, formando um pentágono. A conclusão do artesão é, portanto, perfeitamente válida.
4.2 Verificação Intermediária
A lógica está consistente. A existência de 5 faces na pirâmide permite a formação de um corte com 5 lados, desde que o plano intercepte todas elas.
4.3 Possível armadilha
A principal armadilha é acreditar em generalizações falsas, como as apresentadas nas alternativas D e E. Achar que o número de lados do corte é sempre igual ao número total de faces ou ao número de arestas laterais é incorreto. O resultado depende exclusivamente da posição e orientação do plano de corte. Por exemplo, um plano paralelo à base cortará apenas as 4 faces laterais, resultando em um quadrado (4 lados).
4.4 Fechamento e expectativa
Concluímos que a justificativa correta deve conectar o número de lados do polígono (5) ao número de faces interceptadas (5).
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
- a) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais… o polígono tem 4 lados.
- b) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangulares… um dos polígonos tem 4 lados.
- c) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces… se o plano interceptar todas as faces, o polígono… tem 5 lados.
- d) O número de lados de qualquer polígono… é igual ao número de faces da pirâmide… o polígono tem 5 lados.
- e) O número de lados de qualquer polígono… é igual ao número de arestas laterais… o polígono tem 4 lados.
5.2 Justificativa Individual
- 🔴 (A) e (B): Incorretas. Ambas as justificativas ignoram a face da base e concluem, incorretamente, que o polígono teria 4 lados, o que não justifica a descoberta de um pentágono.
- 🟢 (C): Correto. Este argumento aplica o princípio perfeitamente. Ele reconhece que a pirâmide tem 5 faces e que, para se obter um polígono de 5 lados, o plano deve interceptar todas essas 5 faces.
- 🔴 (D): Incorreta. Apresenta uma generalização falsa. A afirmação de que o número de lados de qualquer polígono obtido é igual ao número de faces é falsa, pois o plano pode não interceptar todas as faces.
- 🔴 (E): Incorreta. Também apresenta uma generalização falsa. O número de lados do corte não tem relação direta com o número de arestas laterais.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A justificativa correta para a conclusão do artesão se baseia no princípio geométrico de que cada lado da seção poligonal é criado pela interseção do plano de corte com uma face do poliedro. Como uma pirâmide de base quadrada possui 5 faces, um plano que intercepte todas elas necessariamente formará um polígono de 5 lados (um pentágono).
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a C, pois é a única que apresenta um argumento logicamente válido e completo.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Lembre-se: em cortes de poliedros, o número de lados do polígono resultante é igual ao número de faces que o plano atravessa.
