Os sólidos de Platão são poliedros convexos cujas faces são todas congruentes a um único polígono regular, todos os vértices têm o mesmo número de arestas incidentes e cada aresta é compartilhada por apenas duas faces. Eles são importantes, por exemplo, na classificação das formas dos cristais minerais e no desenvolvimento de diversos objetos. Como todo poliedro convexo, os sólidos de Platão respeitam a relação de Euler V − A + F = 2, em que V, A e F são os números de vértices, arestas e faces do poliedro, respectivamente.
Em um cristal, cuja forma é a de um poliedro de Platão de faces triangulares, qual é a relação entre o número de vértices e o número de faces?
A) 2V − 4F = 4
B) 2V − 2F = 4
C) 2V − F = 4
D) 2V + F = 4
E) 2V + 5F = 4
Resolução em Texto
📌 🧮 Tema Geral:
🔹Relações entre vértices, arestas e faces nos poliedros regulares
📚 Matérias Necessárias para a Solução
- Geometria Espacial e Poliedros
🔢 Nível da Questão
🔸Médio para Avançado
✅ Gabarito
- Letra C
📝 Resolução Passo a Passo
🔍 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Trecho-chave:
“…qual é a relação entre o número de vértices e o número de faces?”
🎯 Objetivo:
Estabelecer uma equação algébrica entre o número de vértices (V) e o número de faces (F), usando as propriedades dos sólidos de Platão com faces triangulares.
👉 O que ele quer saber?
Queremos isolar a relação entre V e F, a partir da estrutura geométrica do poliedro e da aplicação da fórmula de Euler.
📖 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
- Poliedros de Platão: São sólidos convexos cujas faces são polígonos regulares congruentes. No caso da questão, as faces são triângulos.
- Aresta compartilhada: Cada aresta pertence a exatamente duas faces, o que é crucial para nosso cálculo.
- Fórmula de Euler para poliedros convexos:
- V−A+F=2
Onde:
— V = número de vértices
— A = número de arestas
— F = número de faces
- Faces triangulares:
Cada face triangular tem 3 arestas, mas cada aresta é compartilhada por 2 faces. Assim, o total de arestas será:
🧷 Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
- As faces são todas triangulares → cada face tem 3 arestas.
- Cada aresta é compartilhada por 2 faces, o que nos permite deduzir:
- A = 3F/2
- Aplicamos isso na fórmula de Euler:
- V− A + F = 2 ⇒ V – 3F/2 + F = 2
🧮 Passo 4 – Desenvolvimento do raciocínio e cálculos
Substituindo a relação das arestas:
- V – (3F/2) + F = 2
Colocando em uma única fração:
- V – (3F/2) + (2F/2) = 2
- V – (F/2) = 2
Multiplicando os dois lados por 2:
- 2V – F = 4
✅ Essa é a relação pedida.
🧩 Passo 5 – Análise das Alternativas
A) 2V – 4F = 4 → descartada.
B) 2V – 2F = 4 → errada.
C) 2V – F = 4 → ✔️ correta!
D) 2V + F = 4 → errada, sinal trocado.
E) 2V + 5F = 4 → aleatória.
🎯Passo 6: Conclusão e justificativa final
Usando a relação de Euler e a propriedade das faces triangulares, chegamos à equação:
- 2V−F = 4
Ela relaciona o número de vértices e o número de faces nos poliedros de Platão com faces triangulares.
✅ Alternativa correta: Letra C
