A figura representa a vista superior de uma bola de futebol americano, cuja forma é um elipsoide obtido pela rotação de uma elipse em torno do eixo das abscissas. Os valores a e b são, respectivamente, a metade do seu comprimento horizontal e a metade do seu comprimento vertical. Para essa bola, a diferença entre os comprimentos horizontal e vertical é igual à metade do comprimento vertical.
Considere que o volume aproximado dessa bola é dado por V = 4ab².
O volume dessa bola, em função apenas de b, é dado por
A) 8b³
B) 6b³
C) 5b³
D) 4b³
E) 2b³
Resolução em texto
Matérias Necessárias: Geometria Plana (elipse e elipsoide), Álgebra (substituição de variáveis).
Nível da Questão: Médio.
Gabarito: B.
Objetivo Geral: Escrever o volume V = 4 a b² apenas em termos de b, usando a relação entre a e b.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Para essa bola, a diferença entre os comprimentos horizontal e vertical é igual à metade do comprimento vertical. Considere que o volume aproximado dessa bola é dado por V = 4 a b². O volume dessa bola, em função apenas de b, é dado por …”
1.2 O que está sendo pedido?
Escrever a expressão de V, que originalmente depende de a e b (V = 4 a b²), somente em termos de b, usando a relação entre a e b dada pelo enunciado.
1.3 Objetivo Cristalino
Encontrar a relação a = f(b) a partir de “diferença entre comprimentos” e substituir na fórmula V = 4 a b² para obter V em função de b.
1.4 Pergunta de Atenção
Você lembra que, se 2 a – 2 b = b (a diferença entre o comprimento horizontal e o vertical é b), podemos isolar a em termos de b?
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas
- A bola é um elipsoide gerado pela rotação de uma elipse em torno do eixo x.
- Metade do comprimento horizontal é a, metade do comprimento vertical é b.
- A relação dada:
• Comprimento horizontal total = 2 a
• Comprimento vertical total = 2 b
• “A diferença entre os comprimentos horizontal e vertical é igual à metade do comprimento vertical” → 2 a – 2 b = (1/2) × (2 b) = b. - Volume aproximado: V = 4 a b².
2.2 Dúvida Comum e Resposta
- Dúvida Comum: “Por que usamos 2 a – 2 b = b, em vez de comparar apenas a – b?”
- Resposta: No enunciado, falam explicitamente de “comprimento horizontal” (que é 2 a) e “comprimento vertical” (que é 2 b). A diferença entre esses dois comprimentos completos deve ser igual à metade do comprimento vertical (que é b). Por isso usamos 2 a – 2 b = b, não apenas a – b.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Temos um elipsoide cuja “largura” total é 2 a e “altura” total é 2 b. Dizem que (2 a) – (2 b) = b. Queremos expressar o volume V = 4 a b² somente com b, substituindo a pela expressão em b.
3.2 Estratégia Geral
- Escrever a equação 2 a – 2 b = b.
- Isolar a em função de b.
- Substituir a em V = 4 a b² para obter V em termos de b.
- Simplificar e comparar resultados com as alternativas.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
- Relação dada:
- 2 a – 2 b = b
- Resolver para a:
- 2 a = b + 2 b (somando 2 b em ambos os lados)
- 2 a = 3 b
- a = 3 b / 2
- Expressão de volume original:
- V = 4 a b²
- Substituir a = 3 b / 2 em V:
- V = 4 × (3 b / 2) × b²
- Primeiro, calcule 4 × (3 b / 2):
• 4 × (3 b / 2) = (4 × 3 / 2) × b = (12 / 2) × b = 6 b - Então
• V = (6 b) × b²
• V = 6 b³
4.2 Verificação Intermediária
- Confirme que 4 vezes (3 b / 2) é realmente 6 b, depois multiplique por b² para obter 6 b³.
Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 8 b³
B) 6 b³
C) 5 b³
D) 4 b³
E) 2 b³
5.2 Justificativa Individual
- A) 8 b³ ❌
- Surgiria se tivéssemos substituído a incorretamente, por exemplo, a = 2 b em vez de 3 b / 2.
- B) 6 b³ ✅
- Confere com a substituição correta: V = 4 × (3 b / 2) × b² = 6 b³.
- C) 5 b³ ❌
- Não corresponde a nenhum cálculo válido com a = 3 b / 2.
- D) 4 b³ ❌
- Corresponderia a a = b, mas não satisfaz 2 a – 2 b = b.
- E) 2 b³ ❌
- Corresponderia a a = b / 2, mas não respeita 2 a – 2 b = b.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A partir de 2 a – 2 b = b, obtemos a = 3 b / 2. Substituindo em V = 4 a b², chegamos a V = 6 b³.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é B) 6 b³.
6.3 Resumo Final para Revisão
Para expressar V = 4 a b² em termos de b, use a relação 2 a – 2 b = b ⇒ a = 3 b / 2; então V = 4 × (3 b / 2) × b² = 6 b³.
